Mouvement et exercices métatonaux

17 febrero 202520 junio 2019 por Williams Montesinos

A la fin de son livre Économie Musicale, C. Ballif nous énonce de manière définitive les sept procédés d’engendrement et de prolifération dans le mouvement métatonal sur le référentiel de onze notes et les échelles harmonies ; il s’agit là d’un instrument d’observation, de prévision et d’analyse qui fait transiter les sons dans un espace-temps donné en activant des procédés d’articulation dans un « espace/mouvement »: des sons en interaction.

Rappelons que la métatonalité n’est pas un système clos au moyen duquel on pourrait composer pour avoir un style ou une manière déterminée ; dans l’esprit métatonal on s’attache à :

a) La mise en œuvre d’une corrélation de la macrostructure hors-temps (activité pré compositionnelle).

b) L’observation des points d’appui et des points de mobilité (activité analytique).

Ces deux préliminaires acceptés, tout un ensemble de moyens va intervenir.

J’ai écrit quelque part que toute musique était structurée ou se structurait. De la même façon que je peux dire que toute musique part d’un référentiel d’ordre affectif ou spéculatif et plus précisément de sons animés et vivants. Le référentiel est l’ensemble de départ saisi sur l’ensemble totalisant et dans lequel on décide de travailler. Suivant les conventions d’époque ou de cultures musicales, il est restrictif, singulier mais suffisant pour arriver à bien faire sans plus s’occuper du vaste ensemble qui, lui, totaliserait l’univers sonore. On connaît comme référentiels des échelles diverses, des modes, lesquels sont forcément restrictifs. Le référentiel peut être aussi un motif, un thème, une série. J’écarte volontiers le terme de série même s’il a révélé pour beaucoup et pour moi-même des qualités pratiques. Ce terme ne me satisfait pas. Il est trop restrictif et trop lié à une notion de successivité qui rappellerait, mais en contrefacteur, le «thème », lui-même rivé à la solide rhétorique de la Durchführung, laquelle n’est pas indispensable. Des œuvres exemplaires montrent que la série n’était saisie que comme un référentiel, de même les modes, les gammes et les arpèges d’un ton principal, aux époques des musiques modales et tonales […] Par le terme référentiel j’insiste sur son universalité qui prendra dans une œuvre précise sa singularité. De même j’avais insisté dès 1949, en créant un néologisme, sur le terme « métatonal » propre à cerner toute musique. Dans cet art du mouvement, une notion d’ordre ne peut vivre que parce qu’elle est capable de désordre[pp.97-98]

Face à l’infini résonnant, le compositeur cherche à établir une cohérence dans un parcours à la fois diachronique et synchronique et pour cela, le modèle des formats s’impose : ces territoires où naissent les idées musicales réunissant :

a) les éléments d’une paramétrisation globale

b) et un type d’exploitation du matériau de l’œuvre à venir, de la matière sonore envisagée : les formaires.

L’unité (ou les unités) élémentaire (s) d’un « format » détermine (nt) le formaire en question et, par-là, décide (nt) le mode « composition » dans lequel des unités seront plus efficaces que d’autres en vue d’un style à notre image. Les « formats » ou unités élémentaires et individuelles, propres aux quatre formaires, sont distincts à l’analyse. Ils peuvent être traités comme un espace à plusieurs dimensions ou encore comme plusieurs espaces à une dimension. Les quatre formaires, une fois déterminés par leurs formats, n’ont pas d’ordre préférentiel d’entrée. Celui que nous avons choisi pour les décrire est dicté par l’ordre littéraire qui oblige de dire une chose après l’autre. Il n’y a pas de hiérarchie entre eux ; du point de vue de l’information qu’ils portent, ils sont tous les quatre aussi valables à l’activation du corpus d’une œuvre jusqu’à sa consommation dernière[pp. 48-49]

Ainsi l’inventaire des formaires de BALLIF , choisis en étroite relation avec les formats pour la structuration du mouvement sonore, est articulé par :

a) Les formats du formaire de sons en interaction.

b) Les formats du formaire d’événements.

c) Les formats du formaire d’enveloppes.

d) Les formats du formaire des cadres.

Les formats du formaire (a), par exemple, constituent l’échantillonnage physique des sonorités du processus à venir ; il s’agit selon BALLIF d’un spectre qui signe l’œuvre [Ibid., p.49]

Formaire de sons en interaction [*]

L’intérêt que porte BALLIF pour les phénomènes périodiques aux aspects géométriques des formes vivantes est une signature indiscutable de sa manière de modéliser et d’agir. Le formaire ci-dessus par exemple contient déjà une certaine représentation en miniature d’une macrostructure «des sons en interaction» à venir ; en effet, la simple distribution de 3m+3m — par exemple — peut signifier, dans l’esprit ballifien, la disposition d’un cycle répétitif plus ou moins riche, où la «vocation historique» de la périodicité intervallique opérée —la tierce mineure — donnera l’occasion d’introduire des unités plus fines, autrement dit infra-chromatiques — bouleversant ainsi sa connotation traditionnelle.

Les trois autres formaires, dont la détermination s’effectue par formats sur les événements, les enveloppes et les cadres, sont de nature plus liés à la psychologie et au caractère de chacun des compositeurs. Effectivement ces formats, quoique signifiés de la façon la plus neutre, ne peuvent demeurer dans cet état et sont particulièrement sujets à l’artifice d’une paramétrisation plus individuelle encore. Ils signalent et corrigent nos «impulsions» propres et les accordent à notre « souffle » pour ce qui regarde les événements, à nos sens de la « capacité» et des «articulations» pour ce qui convient aux enveloppes, à la nécessité plus au moins avouée d’un « fondement» aux différentes acceptations ou différents refus de telle continuité de discours, ainsi qu’au calcul de « caps» définissant une issue convenable pour régler les cadres[Ibid., p.49]

Apparition du formaire d’événements

Détermination du formaire des événements

Apparition du formaire d’enveloppes

Format du formaire des cadres

Les sons se contentent d’être. Le musicien seul les décide bons ou mauvais, consonants ou dissonants : jugement de valeur pour assurer le bien fondé des esthétiques. Comment être bien sûr ? Souhaits entre symboles. Comment sortir de l’arbitraire ? Peut-on, en toute rigueur, quantifier l’énergie sonore, non plus empiriquement mais à l’aide de calcul du taux d’information ? Pour gouverner une pièce à venir — ou, là, venant — peut-ton faire confiance à la notion d’ordre, laquelle garantit l’accroissement d’information et à son contraire la notion de désordre, qui cause, plus elle augmente, la diminution d’information ? Cette question a été débattue lors d’un concours, relaté par Diderot, entre un coucou et un rossignol, et jugé par un âne-ordinateur voisin. Ce dernier préfère la structure ordonnée, suivie par le coucou, qui adopterait un point de vue raisonné, voire scientifique, allant du simple au complexe […] Diderot illustre deux cas extrêmes de néguentropie et d’entropie possible pour le chant des oiseaux, de plus l’âne n’avait hélas pas encore lu Bachelard, lequel sut, entre autres, nous apprendre à distinguer un beau théorème et un beau poème qui présentent, eux aussi, deux cas extrêmes [p.73]

Mais revenons à l’intention préliminaire dans cette étape de notre démarche : la relecture des sept exercices sur le Référentiel métatonal et les échelles harmonies. Dans ce sens, nous développerons nos réflexions en essayant de donner à la métatonalité son LIEU D’EXPANSION et par conséquent D’EXTENSION. Voici donc une relecture extensionnelle de quelques exercices ballifiens.

Exercices métatonaux : vers une logique de l’espace-mouvement en expansion

A. Premier Exercice : Référentiels orientés

a) CHANGEMENT DE TON SANS TRANSPOSITION PAR ÉCHANGE DE DEUX SONS ANTIPODES

Exemple FA# au lieu de DO

Changement de ton sans transposition

Il s’agit tout simplement du renversement du noyau invariant.

b) TRANSPOSITION AVEC CHANGEMENT DE TON (INVARIANT HARMONIQUE TRANSPOSÉ)

Transposition avec changement de ton

Transposition avec changement de ton b

La table d’addition précédente (modulo 12) illustre clairement le déploiement des transpositions du référentiel métatonal ─ représenté dans la colonne horizontale située tout en haut ; l’emploi du modulo en question se justifie par la nature même de l’exercice ballifien, qui nous impose la transposition itérative de l’invariant harmonique et l’activation de la note antipode.

c) TRANSPOSITION SANS CHANGEMENT DE TON

Antipode fa# : toujours absent malgré les transpositions

Invariant harmonique conservé / variance mélodique activée

Transposition sans changement de ton

La transposition du référentiel associée à l’addition dans le modulo 11 — tout en activant la mobilité mélodique — respecte la permanence du noyau de l’invariant harmonique. Le résultat de cette association, consiste en un déploiement équilibré des cycles opérés.

B. Deuxième exercice: Référentiels symétriques
ÉTABLISSEMENT , PAR RAPPORT A UN ORIENT (MÉTATON) ET SUR CE POINT D’ORIENTATION , DE QUATRE FORMES ISOMÉTRIQUES

( DIAGRAMME DE KLEIN ) :

Premier cas
Référentiel « mono-structurel » : son renversement ne fait pas apparaître un changement de ton indicatif.

Référentiel mono-structurel

Second cas
Référentiel «poly-structurel» : son renversement fait apparaître un changement de ton indicatif.

Référentiel poly-structurel

C. Troisième exercice : Référentiels dérivés
L’ ORDRE SUCCESSIF , DONNE PAR L’ORIENT CONSIDÉRÉ COMME ORIGINE, EST MIS EN CORRÉLATION AVEC L’ORDRE NUMÉRIQUE D’APPARITION.

référentiels dérivés/permutations

Initialement, les deux premiers ordres vont proliférer par application bijective. On obtiendra ainsi neuf cycles en dehors du référentiel qui seront sous-divisés en trois groupes ou corrélations. Le tout formera ce que C. BALLIF a dénommé un archétype.

Archétype

L’archétype étant défini, on appliquera à chacune des corrélations la même opération ; sauf erreur, chaque corrélation doit contenir 30 cycles dérivés. Ainsi un seul référentiel dérivé sera à l’origine de 90 cycles de 11 notes. Un nouvel archétype peut se créer si nous appliquons à une corrélation, l’un de ces cycles du parcours de prolifération, la même opération appliquée au référentiel. Nous obtiendrons alors 90 nouveaux cycles.

Corrélations

Pour prévoir la totalité organique de l’œuvre aussi bien que pour se rendre compte, il faut donc, au-delà de l’écriture traditionnelle, en penser une autre, plus générale, qui inclurait une table de corrélations à double entrée fixant les relations entre l’écriture et l’instrumentation [pp. 185-184]

Cela étant, revoyons encore un instant le concept d’archétype ballifien car sa signification ne s’arrête pas à la simple concaténation référentielle entraînée par un bien traditionnel procédé de permutations. N’oublions pas que la composante
essentielle de l’archétype métatonal est sa propriété corrélative − porteuse de ces configurations intervalliques que BALLIF définit comme les modules qui deviendront les formats de formaires de sons. Certes, la lecture horizontale fournit les différentes suites et révèle les diverses configurations qui constitueront chez le compositeur les engrenages de transformation ou de modulation d’un référentiel dont voici un exemple :

Engrenage de transformations

dérivation référentielle

D. Les cycles de réseaux ou l’extension métatonale

L’étude des référentiels dérivés de C. BALLIF nous permet à présent d’introduire un procédé d’extension qui pourrait être considéré comme une variante de ce troisième
exercice métatonal : les cycles de réseaux. Inspiré des référentiels dérivés, ce procédé se présente en deux étapes :
a) Prolifération du produit de permutation à partir de deux ensembles de l’archétype ballifien — le premier bâti à partir de l’ordre d’apparition de la séquence métatonale (ou tout simplement gamme) et le deuxième constitué par la configuration ou référentiel sélectionné pour cette opération.
b) Multiplication par les chiffres 5, 7 et 11, dans le modulo 12 et multiplication par les chiffres 5, 7, et 9 dans le modulo 11. Autrement dit, lors de l’obtention du total des permutations, on multipliera les deux premiers ensembles par chacun des chiffres indiqués précédemment.

Archétype du cycle de réseaux

Correspondance avec les notes

Multiplication de l’archétype par 5 en « modulo 12 et 11

Multiplication par 7 de l’archétype en «modulo 12 et 11»

Multiplication par 9 de l’archétype en «modulo 11»

Nous avons exclu la multiplication par 9 dans le modulo 12, pour des raisons qu’on connaît désormais — à savoir la réduction du total chromatique ou métatonal aux uniques composants de l’accord de septième diminuée (0, 3, 6 et 9)—, en
vertu de quoi on pourrait envisager une réintroduction du même procédé pour propulser le passage vers un tempérament distinct. Dans la pensée métatonale, tout résidu est économie et par conséquent exploitable. En effet, la réintroduction de la multiplication par 9 dans le modulo 12 nous permet d’envisager la division de la tierce mineure — mais aussi, la division de la sixte majeure. Nous obtenons ainsi :

a) une double division quaternaire de l’octave (en modulo 12) avec une échelle de huit sons d’une périodicité de 3⁄4 de tons:

Double division quaternaire de l’octave

Échelle non octaviante en tierces mineures

Cycle infra-chromatique alterné

Quel que soit le choix du modulo, les cycles de réseaux — comme extension des référentiels dérivés métatonaux — permettront de basculer au cours du mouvement sonore d’un tempérament à l’autre (tout en ayant à l’esprit la notion de bi-modularité (voire de pluri-modularité).

Multiplication de l’archétype par 11 en modulo 12

Multiplication par 11 modulo 11

E. Quatrième exercice : Référentiels circulaires.
a) Nouvel ordre successif par permutation des termes, tout en conservant toujours le même nouvel ordre et en sauvegardant la même origine.

Avec 12 sons

Référentiels circulaires

La permutation précédente (cycle B 2ème portée) fait apparaître une brisure dans le module de configuration représentée par la quarte augmentée/seconde majeure — à cause de la substitution de l’intervalle de seconde mineure par l’intervalle de seconde majeure. En effet, la suite des couples a, e, c, b, f, d signale une coupure nette entre les couples c et b — avec un rapport de quarte juste—; elle instaure une segmentation binaire entre les trois premiers couples et les trois derniers. Dans la technique métatonale, l’apparition de sons résultant d’une brisure est considérée comme une restance — il faut donc savoir l’intégrer.C’est ainsi que nous sommes en mesure d’imaginer l’existence d’une symétrie virtuelle au milieu de ces deux groupes équilibrés qui donnent la possibilité d’un glissement infra-chromatique obtenu à partir de la division égale de la quarte juste :

Symétries virtuelles de groupes équilibrés

Le glissement infra-chromatique du référentiel nous dévoile l’actualisation d’une symétrie sous-jacente et nous ouvre la possibilité d’un référentiel extensible vers un univers infinitésimal ; nous pouvons ainsi, imaginer un référentiel microtonal comme celui-ci :

Glissement infra-chromatique

Par ailleurs, ce procédé est une dérivation du 7ème exercice sur le référentiel concernant les référentiels additifs.

1) Référentiels réciproques (extension métatonale) : Cycle réciproque du module de configuration quarte augmentée /seconde mineure :

Référentiels réciproques

Observons que le module de configuration réciproque (2de mineure plus quarte augmentée) fait apparaître une gamme métatonale sur DO dont le son manquant correspond au FA#. Autrement dit, la stricte succession itérative et sans brisure du module de configuration polarise un ton orient sur la note DO et potentialise son correspondant symétrique FA#.

2) Cycle réciproque du module de configuration quarte augmentée /seconde majeure :

Référentiels réciproques b

Remarquons que le cycle réciproque de la configuration quarte augmentée/seconde mineure réduit l’ensemble à la sonorité de la gamme par tons (deuxième et troisième portées).
Cependant, si le procédé en question est volontaire, nous sommes alors face à un exemple, dérivé du 7ème exercice sur le référentiel, concernant les ensembles soustractifs ; c’est donc l’occasion de se demander si la segmentation équidistante de la configuration étudiée supporte la brisure de la quarte juste, pour ainsi activer l’ensemble des notes manquantes :

Ensemble soustractif

Cela étant, tout nous amène à penser que l’intervalle de quarte juste joue un rôle important dans l’organisation métatonale ; mais aussi dans le «modulo 11», car il sert à structurer, distribuer ou tout simplement à neutraliser ou polariser l’intention des sons en interaction de n’importe quel référentiel.

b) 4 FORMES CYLINDRIQUES : $\alpha$ = début-milieu $\beta$ = fin-milieu

$\gamma$ = milieu-extrême $\delta$ = extrême-milieu

Référentiel avec fixation d’axe de symétrie

Référentiel avec mobilité d’axe de symétrie, variant mélodique activé

Référentiel avec des couples symétriques

Fin milieu

Milieu/extrême

Extrême/milieu

F. Cinquième exercice : Référentiels modulants

A PARTIR D ’ UN ORIENT CONSIDÉRÉ, SUBSTITUTION INTERVALLIQUE : DES SECONDES MAJEURES ET DE SECONDES MINEURES, DES TIERCES MAJEURES ET TIERCES MINEURES, DES SIXTES MAJEURES ET SIXTES MINEURES, DES SEPTIÈMES MAJEURES ET SEPTIÈMES MINEURES.

Référentiels modulants

Le référentiel obtenu (II) est un produit défectif — à 10 termes —, bien souvent employé par BALLIF avec l’intention de brouiller le noyau invariant et activer ainsi la variance mélodique. Notons par ailleurs l’apparition accidentelle du FA#.

G. Sixième exercice : Référentiels proportionnels

Agrandissement, rétrécissements intervalliques effectués proportionnellement.

Exemple : quarte redoublée, quarte divisée en 5/4 de tons par rapport à l‘intervalle lui-même.

Référentiels proportionnels

Voici probablement l’un des procédés les plus ingénieux de la charpente inventive de C. BALLIF. À partir d’une figuration de deux termes et en définissant son axe équidistant (division binaire), on peut faire proliférer des ensembles référentiels résiduels. Dans l’esprit métatonal, la disposition ou spatialisation d’un intervalle quelconque peut révéler des natures dynamiques assez distinctes mais très utiles à l’énergie d’un mouvement.

Voici quelques exemples :

Déploiement spatial d’un ensemble équilibré

L’opération ci-dessus nous montre le déploiement spatial d’un ensemble référentiel équilibré ayant sa source dans un foyer substrat bâti à partir de la division binaire — par la note axiale ré 1⁄4 (chiffre 5) — en cinq quarts de tons de la quarte ascendante
do-fa (chiffres 0-10)
Ensuite, nous avons le véritable commencement du déploiement de quartes ascendantes et descendantes (disposition verticale 19- 15) pour aboutir à la première apparition de la disposition verticale « absente» jusqu’à ce moment du parcours : la quarte augmentée, constituée par le son axial ré1⁄4 et son pôle symétrique sol 3⁄4 (chiffre 17) — note axiale de l’intervalle redoublé de do-fa. Il est essentiel de remarquer que la note axiale d’origine (chiffre 5), divisera tout au long du parcours la totalité des agrégations verticales ; les deux dernières notes des cycles ascendants et descendants (chiffres 22-12) clôtureront la prolifération lorsqu’elles établiront à distance les rapports symétriques métatonaux des tons indicatifs (chiffres 0-10) et des sons antipodes (chiffres 12-22).

Il nous reste encore un dernier paradoxe : la disposition verticale des deux notes de clôture constituée par le rapport de l’intervalle de la quarte ascendante (FA#-SI) s’étend sur trois octaves et une quarte — autrement dit un intervalle redoublé — on peut par conséquent envisager une modulation, tout en gardant le même axe infra-chromatique d’origine.

Lorsque BALLIF propose la division équidistante d’un intervalle quelconque, il la suppose dans sa réalité matérielle, c’est-à-dire dans son mouvement. Il sait par ailleurs qu’une fois un «système choisi», il reste une méthode à cerner ; car depuis bien longtemps il est conscient que la mise en valeur de la matière nous amène à reconsidérer les restrictions du passé, à chercher leur raison d’être et enfin à réviser les conceptions classiques du mouvement. Par conséquent, le trinôme du schéma matière, mouvement, musique, n’est plus en situation de contingence — il est implicite à une conception différente du matériau à envisager.

Ainsi, et à partir d’une disposition d’origine — constituée par la division binaire d’une quarte — on peut faire proliférer des cycles qui garderont entre eux des propriétés spécifiques à une configuration de départ ou foyer substrat — semblable à l’espace substrat préconisé par René THOM : noyau du domaine spatial où a lieu la morphologie envisagée.

L’exemple suivant nous montre aussi l’importance de la présence d’un invariant — capitale par ailleurs dans la prolifération équilibrée d’une diversité ou variance mélodique. Cependant, dans la pensée métatonale la division binaire, ternaire ou autre d’un intervalle, ne se limite pas seulement à la segmentation de la quarte ; l’importance de celle-ci dans l’esprit métatonal relève probablement d’une perception différente de l’information qu’on a héritée d’une certaine théorie de l’histoire musicale en Occident. Elle pourrait même énoncer l’existence d’un dynamisme sous-jacent, présent dans la pratique musicale au moins depuis le Moyen Age :

dynamisme sous-jacent

Par exemple, si nous appliquons le sixième exercice ballifien, à la disposition précédente — en apparence insignifiante —, nous nous apercevrons qu’elle est à l’origine d’une «figuration référentielle» contenant les informations pertinentes à la constitution de l’espace de démarrage ou noyau substrat :

Constitution d’un noyau substrat

Et aussi, d’un processus ultérieur de prolifération bien singulier :

Prolifération

En effet, le redoublement de la seconde mineure descendante (mi, mib) avec sa division binaire sera à l’origine du premier et véritable « foyer substrat» du cycle — constitué par la première disposition verticale sol/do de la section B et ce foyer substrat est obtenu grâce à la symétrie de la quarte — édifiée par la note axiale de la figuration référentielle.

Mais cela n’a rien d’étonnant, car la conscience harmonique dans l’approche métatonale peut repérer les points variants et invariants avérés par les polarisations (tons indicatifs) ou les absences (sons antipodes) des différents moments du parcours.
Quant à l’ambiguïté que pourrait créer chez certains spécialistes l’emploi indistinct d’intervalles mélodiques et harmoniques dans une même opération, il faut rappeler que dans la pensée ballifienne, la distinction «mélodie-harmonie» n’a pas lieu d’être, car on n’entend ni horizontalement ni verticalement : on n’entend que des types de dispositions.
Continuons donc avec l’explication ; par exemple, la note axiale (la1⁄4) symbolise un lieu d’intersection entre un avant et un après du déploiement de l’ensemble référentiel (entrelacement des sections A et B) ; mais elle préfigure aussi la présence invisible qui organise la naissance, la spatialisation et la prolifération d’un noyau invariant gouvernant la diversité. La note axiale nous signale enfin, non seulement un prétendu épuisement d’un type de parcours, mais aussi les transformations ou bifurcations possibles d’un perpétuel mouvement. Observons par exemple que dans la section C — juste au milieu du parcours—, les deux notes restantes du noyau substrat (mi-mib) — que l’on croyait d’ailleurs insignifiantes — prendront la relève (en disposition redoublée) pour activer une occupation plus large de la tessiture et notamment l’assurance d’un parcours cohérent à la section D.
La fin du parcours va se clôturer avec l’unisson infra-chromatique de la note axiale, mais auparavant le cycle des termes tempérés ôtera son déploiement (avant-dernière disposition notes fa#-réb) avec leurs respectifs pôles symétriques des composants du foyer substrat do-sol.
Ainsi, le cycle des notes des quartes clôturera son parcours, mais non sa distribution spatiale. Observons une dernière fois l’exemple de la figure précédente et rajoutons onze quarts de tons supplémentaires aux cycles ascendants et descendants. Pour le premier cycle nous retrouverons la note solb, tandis que pour le deuxième, nous aurons la note réb.
En réalité, elles étaient déjà présentes dans le parcours, mais cette
fois-ci elles constitueront pour la première fois une disposition verticale de quinte redoublée : hasard ou tautologie ? Ni l’un ni l’autre ; à ce stade, nous sommes en mesure de penser que la variance est contenue déjà dans l’invariance. Le noyau métatonal (invariant harmonique) ne peut gouverner le mouvement sonore que s’il dispose de la condition sine qua non de sa vocation : le déclenchement du mouvement.
Le regard métatonal sur les œuvres du passé, et notamment sur celles du SYSTÈME TONAL, nous a montré que la tonique avait besoin d’un membre stable pour la confirmer (la dominante) et d’un membre mobile (la sous-dominante), capable d’activer et de contrôler la diversité du mouvement ; l‘exemple suivant pourrait illustrer plus clairement ces propos.

Comme nous pouvons l’observer, la division infra-chromatique du cycle de quintes aboutit à une disposition octaviante du pôle symétrique du terme qui l’a engendrée — donc un parcours clos —, tandis que la division infra-chromatique de la quarte propose une bifurcation et signale la présence d’un parcours ouvert.
Par ailleurs, nous supposons que le système tempéré était une réponse «légitime» à la difficulté régnante imposée par des systèmes différents — ne permettant pas la construction d’un langage identitaire typiquement occidental.

Mais rappelons une fois encore qu’une recherche de cette nature correspondrait plutôt à une démarche anthropologique ou à une archéologie du système tonal — à propos d’une reconstruction du savoir musical en Occident — et qui dégagerait les contraintes ayant conduit la théorie musicale occidentale à se fixer une logique circonscrite, voire autosuffisante.

Syntaxe métatonale et analyse du sonore

12 septiembre 20247 junio 2019 por Williams Montesinos

Par Williams Montesinos

Cinq entités constituent la syntaxe du discours métatonal ; elles sont liées de diverses façons, mais toutes coexistent dans les rapports harmoniques/mélodiques nécessaires pour articuler la constante essentielle qui est en soi le mouvement du matériau :

e = ensemble restreint du matériel diatonique et de ses modèles dérivés.

E = ensemble total chromatique

C = fréquence de changement

H = intensité de l’harmonie statique (invariant harmonique)

h = intensité de l’harmonie dynamique (variant mélodique)

ε = constante du mouvement de la matière

La conception métatonale fonde son dynamisme sur le basculement entre la valeur maximale et la valeur minimale de l’entité « C » (fréquence de changement) celles-ci sont activées par l’intensité de l’harmonie dynamique « h » et de l’harmonie statique « H » déclenchant les rapports harmonie-mélodie.

On remarquera que, même si je lis ou écris une pièce dans laquelle ne se trouve qu’une ligne mélodique, et quel que soit le matériel utilisé, cette ligne n’a pas renoncé à l’harmonie h, bien qu’on ne puisse parler d’Harmonie H. Autrement dit, on peut parler d’harmonie de n’importe quelle œuvre musicale. C’est ce qu’autorise notre distinction entre Harmonie statique et harmonie dynamique. Lorsqu’on opposait une simple mélodie à un morceau harmonisé, orchestré, c’est que l’on ne pensait qu’en termes d’Harmonie statique. L’harmonie dynamique réside dans la structure de cette mélodie [pp. 139-140]

Ainsi, le mouvement musical selon BALLIF s’active à partir des inégalités harmoniques et mélodiques, les échanges entre l’ensemble du total chromatique « E » (point de vue de la liberté mélodique) et « h » (point de vue de la libération harmonique). Cependant, une fois cernée cette constatation, deux choses restent à considérer :

a) Le mouvement massique duodécatonal des structures fixes, où l’harmonie dynamique « h » tend à se confondre avec l’harmonie statique « H » et que nous associons à un état d’homogénéisation

b) La présence d’un mouvement linéaire avec absence de points de structures. Ici « h » tend à se confondre avec « E » et que nous associons à un état d’ hétérogénéisation.

Pour éviter ces deux cas de figure extrêmes, BALLIF nous propose alors ce point d’équilibre et clé de voûte d’un original « modèle de sagesse » du mouvement — le concept universel d’invariance (*).

Le mouvement musical pourrait, en quelque sorte, être mis en équation avec les rapports de la stabilité harmonique et de la mobilité mélodique. La métatonalité met l’accent sur des invariances harmoniques (les points, les arêtes de structure) conçues ici, non plus comme des points toujours fixes ou équivalents (solutions polytonales et polymodales) mais comme un paramètre du mouvement, c’est-à-dire une quantité indéterminée de statisme, qui peut intervenir sur l’un des éléments de l’invariant. Ce paramètre symbolisé par h, fait de points intensifiés momentanément à la fortune du rythme, des intensités, des timbres, des hauteurs, entre dans l’équation du mouvement et permet, par ces changements (symbolisés par C) sur les différents points envisageables de l’ensemble de l’invariant harmonique (symbolisé par H), d’obtenir toutes les fluctuations successives possibles du mouvement [p.144]

Effectivement, la métatonalité se fonde sur l’opposition variant-invariant, ce qui impose deux considérations :

a) L’affirmation de l’opposition variant-invariant fixe un son comme référence.

b) La diminution variant-invariant privilégie la liberté de toute fixation.

Ces deux énoncés s’appliquent bien entendu à n’importe quel style du répertoire de la musique occidentale ; néanmoins, l’énoncé (a) peut se présenter à l’intérieur du mouvement sonore, au moins de deux manières différentes : l’une imposant à la perception une fixation sur un objet unique et constant (Exemple n°I) ; l’autre dominant de manière virtuelle la distribution symétrico-spatiale autour d’un son référentiel (Exemple n°II).

Exemple I

Nous voici en présence des neuf premières mesures d’Octandre I de VARESE ; les trois premières introduisent une monodie pour hautbois, autour de quatre notes solb-fa-mi-ré# dont une, le ré#, va s’imposer à la lecture et naturellement à la perception comme un son de référence. En effet, l’insistance sur cette note va s’imposer jusqu’à la mesure 5, lorsque le la (note axiale) viendra fermer la symétrie de la quarte augmentée. Quelques mesures plus loin, à la neuvième pour être plus précis, nous apercevons que la note sol, indiquée avec la dynamique quadruple forte, était absente du discours précédent. L’insistance première sur ré#, suivie de l’insistance sur ré#-la, nous avait épargné le sol, pour totaliser un ensemble de onze sons (source audio)

Parcours analytique métatonal de DENSITY 21.5

Écrite en 1936 à New York à la demande de Georges BARRERE , la version de DENSITY 21.5 qu’on va analyser correspond à celle que VARESE avait révisée lui-même en 1946. Notre démarche analytique consistera à détecter les analogies possibles entre la notion d’unité cristal avancée par VARESE et le concept de référentiel métatonal avec son noyau invariant. Partant de la conception varésienne de la forme musicale comme résultat d’un processus, nous avons tenté de dégager dans l’analyse de cette pièce, une dimension structurelle différente afin de percevoir sa singularité. En effet, la plupart des analyses de cette pièce accordent une structure organique en trois grandes périodes séparées par un court interlude et qui se succèdent de la manière suivante :

Nous avons élaboré cette analyse pour la classe de C. Ballif à l’Université Paris VIII (1989–1990). Quant à l’emploi du vocabulaire spécifique [voir]

Première partie : mesures. 1 – 23

Interlude : mes. 24 – 28

Deuxième partie : mes. 29 – 40

Troisième partie : mes. 41 – 61

Cependant, quoique traditionnellement considéré comme pertinent, ce découpage peut ne pas rendre compte de l’idée centrale de VARESE à propos de son unité cristal : ce substrat qui se développe et qui éclate en différents modules, avec une force incessante coordonnant la direction et la vitesse des sons et dont l’interaction constitue la forme de l’œuvre.
Le parcours analytique que nous proposons respecte les traits généraux du découpage traditionnel, mais il dégagera aussi les différentes sections que constituent le mouvement et les transformations du processus sonore :

PREMIÈRE PARTIE DE DENSITY 21.5
PREMIÈRE SECTION : mes.1- 3.
Invariant harmonique Sib → Fa → Do.
Exposition de l’unité cristal, présentation du ton indicatif (une
fois) et apparition du premier axe de transformation (a) do# ↔ sol
à la troisième mesure. Polarisation sur fa#.
DEUXIÈME SECTION : mes. 3 – 5.
Ton indicatif noyé. Encore polarisation sur fa#.
TROISIÈME SECTION : mes. 5 – 8.
Évolution de la tessiture. Cadence métatonale à la mesure 5 et
première apparition des invariants sib, do. Fin de la polarisation
sur fa#.
QUATRIÈME SECTION : mes. 9 – 12.
Transposition de l’unité cristal et polarisation sur do. Deuxième
axe de transformation (b) à la mesure 11 : ré ↔ sol#. Troisième
axe de transformation (C) à la mesure 12 :
Ré# ↔ La ↔ Ré#

CINQUIÈME SECTION : mes. 13 – 14
Parenthèse. Quatrième et dernier axe de transformation
SIXIÈME SECTION : mes. 15 – 17
Liquidation de l’invariant : sib → fa → do.

SEPTIÈME SECTION (mes. 18-21) / Changement de ton indicatif par échange de deux sons antipodes (polarisation sur SI)

Fin de la 1ère partie

(source audio)

La pratique de l’analyse musicale, tant d’un point de vue statique que d’un point de vue dynamique, nous révèle qu’il n’y a pas de position privilégiée à partir de l’un ou de l’autre de ces deux aspects. L’aspect statique d’une œuvre demeure, même lorsqu’on a fini de l’entendre; mais si une note dure plus longtemps qu’une autre, cet aspect statique dépendra du contexte musical, car chaque son considéré en lui-même peut être successif du discours ou son de référence. Et c’est au compositeur de créer ces points, ces réseaux qui vont
structurer le statique et le dynamique. Dans la pratique compositionnelle, la note musicale, ou encore un certain complexe sonore, ne sont envisagés que comme un passage. Ainsi par exemple, on s’en aperçoit mieux encore lorsqu’un musicien tente d’achever la courbe d’un morceau et prépare une cadence qui va freiner ou éteindre tout de bon le mouvement, et favoriser du même coup un terrain d’atterrissage. L’auditeur n’a plus qu’à attendre la fin… Il y a un «suspens »… Et là, dans ce qui fuit et va mourir, mirage d’un temps achevé, on va arriver au point de départ et tout le matériel utilisé n’aura été qu’un passage dans la durée [pp.152-153]

Solfeggietto n°1⇒

L’héritage de Wyschnégradsky

8 octubre 202525 mayo 2019 por Williams Montesinos

261.62 * (2^(((1200 / 72) * 0) / 1200)) = C ₄

261.62 * (2^(((1200 / 72) * 5) / 1200)) = C^5/12

261.62 * (2^(((1200 / 72) * 6) / 1200)) = C^1/2

261.62 * (2^(((1200 / 72) * 7) / 1200)) = C_#^{1/12 ou}C ^7/12

261.62 * (2^(((1200 / 72) * 12) / 1200)) = D⁴

261,62 * (2^(((1200 / 72) * 72) / 1200)) = C ⁵

Corollaire

Dialogismes & analyses : Genspark AI |24/09/2025 | Grok AI |24/09/2025 | YIAHO | 24/09/2025

Extension de l’héritage

Un exemple d’octave dilatée (sur une 9ème mineure spatialisée)

Paradoxe résiduel

1200 × log(937.2÷ 440) ÷ log(2) (1309 cents)

Un exemple de quart(ave) dilatée

K: constante de 85 cents

Échelle génératrice de l’espace substrat / constante 170 cents sur un parcours de 1700 cents

Une sonoïèse fréquentielle

Ultra-chromatisme et espaces non octaviants dans l’esprit métatonal

1 abril 202523 mayo 2019 por Williams Montesinos

Par Williams Montesinos 2003 (*)

En 1946, Claude Ballif découvre le traité du compositeur tchèque Alois Hába avec qui il travaille à Darmstadt entre 1956 et 1957. Pendant cette période, le jeune compositeur portera son intérêt sur l’univers infra-chromatique et les différentes divisions infinitésimales de l’octave : les intervalles de 1/4 de ton, de 3/4 de ton (division de la tierce mineure), les intervalles de 5/4 de ton (division de la quarte juste), etc.

Cependant, c’est entre les années 1969 et 1972 que Ballif rencontre finalement Ivan Wyschnégradsky, époque à laquelle il étudiera avec lui, et de manière systématique, l’ultra-chromatisme et les diverses symétries déployées dans l’univers sonore infinitésimal. Ainsi, Ballif se bâtira une rigoureuse — mais flexible — technique dans l’emploi des densités ultra-chromatiques, partant de l‘axiome : tout intervalle peut être divisé en 2 micro-intervalles équidistants. Surgissent ainsi, et presque comme une « extension dynamique » dans la pensée ballifienne l’élargissement des échelles-harmonies, les structures au-delà du cadre de l‘octave bref, l’adieu définitif à l’octave utilisée dans un strict esprit modal, au profit d’une ouverture vers les espaces sonores non octaviants.

En effet, la pensée modale, même poussée à l’extrême, nous avait restreint à une division tributaire de la compréhension d’un tempérament, ou si l’on veut, d’un « modulo clos » où le demi-ton divisait le ton, le ton la tierce majeure. La tierce mineure fractionnait la quarte augmentée, la tierce majeure la sixte mineure ou quinte augmentée. La quarte partageait la septième mineure et enfin, le triton qui découpait l’octave. Toutefois, il manquait de franchir et ceci, sans proclamer rupture l’équipartition microscopique audible (au moins standard) de l’octave ; autrement dit, si l’axiome énonçant que tout intervalle peut être divisé en 2 micro-intervalles équidistants est vrai, qu’attendait-on alors pour normaliser ou systématiser la division de la tierce mineure, de la quarte ou de la quinte juste, des sixtes et septièmes majeures, y compris de la neuvième mineure ? La raison se trouve probablement dans les fondements d’une logique délibérément circonscrite.

C’est ici que la métatonalité se révèle une fois encore flexible et énergétique, car elle aussi peut accueillir dans son expansion l’ultra-chromatisme et les espaces non octaviants théorisés et développés par I. WYSCHNÉGRADSKY :

À propos des périodicités non octaviantes selon Wyschnégradsky.

«La prise de conscience de l’équivalence des sons, périodicité octaviante traditionnelle, ouvre la voie à des périodicités non octaviantes. Que signifie ce terme de périodicité non octaviante ? Il signifie que les fonctions, qui dans l’espace périodique octaviant incombaient à l’octave (transpositions, redoublement) sont dans l’espace périodique non octaviant reportées sur un intervalle autre que l’octave. La notion de transfert de fonctions est essentielle dans la définition, car sans elle, le terme de périodicité resterait abstrait. La définition reste toutefois incomplète, car le terme de « autre intervalle » est très imprécis, et signifie n’importe quel intervalle. Or, il faut tenir compte du fait que plus l’intervalle est petit, d’autant plus pauvres sont les possibilités de sa structuration interne. A la limite, l’intervalle le plus petit devient unité spatiale et exclut toute structuration. Cela impose une sélection. La seule façon à mon avis d’aborder le problème est de prendre comme base et point de départ l’octave et d’accéder à la périodicité non octaviante par contraction ou dilatation par degrés ultrachromatiques de ces intervalles. De cette façon la sélection se fait d’une façon naturelle. Ceci nous amène à une définition précise des espaces non octaviants. Un espace non octaviant est un espace dans lequel l’intervalle de l’octave, qui depuis les temps les plus reculés avait délimité la périodicité de l’espace, se trouve soit contractée, soit dilaté d’une ou de plusieurs unités spatiales, de sorte que la fonction qui traditionnellement incombait à l’octave naturelle, est reportée sur des octaves modifiées. Il convient de préciser que dans une période contractée aucune des unités spatiales qui la composent ne subit de contraction. Cela veut dire que la contraction de la période s’obtient non par l’augmentation de sa densité,mais par la diminution du nombre de sons. De même la dilatation de la période s’obtient non par la diminution de sa densité, mais par l’augmentation du nombre de sons. De même il n e faut pas confondre une octave modifiée avec une octave altérée dans le sens traditionnel de ce terme. Dans le dernier cas nous avons à faire à une anomalie passagère n’ayant pas de valeur structurelle. Elle ne met pas en cause la structure octaviante de l’espace» [pp.73-130] & La loi de la pansonorité.

Mais, essayons de pénétrer dans la réalité matérielle des notions précédemment citées. Deux concepts découlent de l’extrait précédent :

a) la contraction de l’octave

b) la dilatation de l’octave

Le premier s’obtient par dilatation du nombre de sons, tandis que le second s’obtient par augmentation du nombre de sons. Tout cela se réduit, quant à l’univers tempéré à la construction de régimes différents de la périodicité de 12 demi-tons ce qui impose que l’on considère un avant et un après l’octave, à savoir : régime 11 et 13.

Régimes 11 et 13 dans le n° II, op. 27, de Webern.

Voilà un regard métatonal sous l’angle de la spatialisation harmonique cher à WYSCHNÉGRADSKY ; il s’agit d’une analyse du n°II, opus 27, de WEBERN, réalisée par BALLIF en 1972. Ici, chaque disposition est fixée par un régime intervallique qui détermine les périodicités à parcourir du grave à l’aigu et vice-versa, sur la totalité des sons énoncés. L’application du régime 11 et 13 justifie la structure interne autour de l’axe invisible mais bien présent établie par la globalité des dites structures.

Modélisation des Variations II, op.27 d’Anton WEBERN

Ici, les douze sons de la gamme tempérée sont groupés en cinq figures de deux notes chacune, qui tournent autour d’un axe énoncé au moyen d’un unisson, donné à la première mesure, et toujours repris de manière fixe et au même registre. Quant à la note antipode de ce son fixe, mib, celle-ci apparaîtra deux fois d’une façon brève — comme un appui (mesures 6 et 21) — et un fois encore de manière plus explicite à la mesure 15— pour délimiter l’ambitus spatial. Ici, le mouvement se fera sur la variété de cinq figures autour d’un axe quasi-invisible (la) : centre de distribution spatiale où chaque figure est un noyau ou invariant harmonique indépendant — privilégiant ainsi la prolifération constante de cellules fixes. A ce propos, C. BALLIF affirme que cette pièce présente une absence totale de variant mélodique et que c’est la permutation de l’invariance qui permettra au discours d’avancer. Il s’agit d’une invariance géométrique avec des sortes d’anneaux flottants qui vont transiter en obéissant au mouvement imposé par un axe central. Ainsi, un son gouvernera de manière invisible la dimension symétrico/spatiale autour de lui.

audio

Par son découpage, l’exemple précédent nous signale l’interaction de six configurations rectrices dans le déploiement des permutations qui accompliront les divers moments du mouvement métatonal. D’autre part, l’emploi des vecteurs montre l’éclatement d’un invariant géométrique que C. BALLIF associe souvent à des anneaux flottants et que nous conviendrons (par extension) d’associer à des réseaux d’anneaux — semblables aux formes extérieures des cristaux si chères à Edgar VARÉSE.

Il faudrait cependant, signaler que le souci de WYSCHNÉGRADSKY ne s’arrête pas à cette considération préliminaire, car sa véritable préoccupation concernait la recherche d’une méthode de l’univers ultra-chromatique que l’on construirait à partir de la résonance naturelle donnée par le tempérament.

Une fois élucidée cette notion d’espaces non octaviants, passons maintenant à une lecture de l’univers ultra-chromatique appréhendée par la pensée métatonale.

«J’ai été sensibilisé très tôt aux micro-intervalles explorés par Haba et Wyschnégradsky. Je me suis intéressé à trouver des échelles non tempérées avec les objets les plus hétéroclites. Le terme d’espace non octaviant est dû à Wyschnégradsky. Avec ses divisions infinitésimales, il surajoutait des sonorités, comme on nous a appris à ajouter des secondes, des tierces ou des sixtes à des accords tonaux simples […] Wyschnégradsky ne met pas successivement des micro-intervalles les uns après les autres : il enrichit la sonorité en fondant certaines tables, certaines échelles canoniques. Il a su donner aux micro-intervalles une valeur structurelle, à mon sens comme Webern l’avait fait pour les douze demi-tons»[pp.9-18]

De manière systématique, BALLIF décide d’utiliser les micro-intervalles depuis 1972, mais cette fois-ci il poussera encore plus loin son nouveau concept d’accord parfait découlant des gammes équilibrées inspirées des échelles harmonies, car elles sont des référentiels qui orientent l’écoute vers une perception globale, c’est-à-dire, une perception à la fois linéaire et harmonique, détachée de la traditionnelle dualité horizontale-verticale.

«Si l’on veut distinguer mélodie et harmonie, il faut voir la mélodie comme l’élan « dionysiaque » inscrivant dans la seule ivresse du présent la réalité concrète de la musique qui va se prolonger, soutenue le long du temps par une organisation harmonique «apollinienne». L’opposition nietzschéenne du dionysiaque et de l‘apollinien, enferme, croyons-nous, bien des résonances qui seraient applicables au contraste harmonie-mélodie : ombre et lumière, richesse profonde, instinctive de l’inconscient et clarté un peu froide de la raison. C’est pourquoi je ne sens plus l’intérêt de la distinction harmonie verticale-mélodie horizontale. Elle n’existe que pour l‘œil» [p.90]

Vue sous l’angle de la spatialisation harmonique définie par Wyschnégradsky, la division de la quarte va nous révéler une périodicité non octaviante contractée plus précisément de régime 11.

Mais, observons aussi un autre référentiel ballifien découlant de la division équidistante de la neuvième mineure ; il s’agit maintenant d’une octave dilatée définissant une structure spécifique qui rend plus clair le concept métatonal de CHAMP -SON :

L’échelle de hauteurs est entrevue, à l’exclusion de toute idée de matière résonnante, puisque c’est une mesure d’espace. Elle indique en quels autres lieux sonores pourra réellement se transporter, à un moment donné, tel son choisi comme initial. Et voilà que l’idée de son ou d’accord, et celle de lieux de mouvement sont étroitement liées. Or je sais que le son existe avant toute invention. On le choisit. Un « champ son » (hauteur-espace) reste libre, et à peupler à partir de ce sonore premier. De bonne foi, nous pouvons croire que ce sonore premier, isolé, se transportait comme une balle de golf sur un parcours étalonné. Nous pouvons croire aussi, et exprimer plus justement, qu’il n’y avait là aucune transposition, mais le son premier a été remplacé par un autre. J’ai identifié échelle de hauteurs et note de musique résonnante : graduation de notes correspond à note de musique. Toutes deux sont apparues et ont disparu de notre ouïe simultanément, pour faire place à d’autres [p.194]

Table infra-chromatique de densité 24 (*)

ESPACES NON OCTAVIANTS ET SON POTENTIALISE : EXTENSION MÉTATONALE

Partant de l’énoncé que les sons de la gamme tempérée n’ont pas une correspondance exclusive avec un modulo précis —en l’occurrence le modulo 12 —, nous allons tenter d’étendre les notions métatonales de variant et d’invariant vers des territoires rarement axiomatisés. Pour ce faire, nous appliquerons une extension des procédés déjà déployés dans le modulo 11.

Commençons donc par vous montrer un essai de tabula magna,avec pour intention de traiter les référentiels de 21 quarts de tons :

De même que pour la table de multiplication modulo 11, la table de multiplication dans le modulo 22 nous révèle à l’intérieur de sa structure une quantité d’ensembles équilibrés non répétitifs et par conséquent non octaviants — le son absent étant associé ici au modulo de périodicité 22. Bref, il s’agit de faire éclater la rigidité d’un territoire en multipliant ses possibilités d’expansion et cela, sans conflit avec une quelconque tradition. La modélisation suivante pourrait nous éclairer à ce propos :

Description de la modélisation

Dans la modélisation précédente, nous retrouvons la notion d’axe évoquée par C. BALLIF dès son Introduction à la métatonalité, lorsqu’il nous parle d’axe nul, axe virtuel et axe réel (dans notre modélisation, les axes en question sont symbolisés par les différents points d’intersection tempérés et non tempérés).

En effet, à partir de la notion de cellule, considérée comme un ensemble de notes conjointes contenues dans une périodicité déterminée — et quelle que soit sa configuration — nous pouvons la segmenter par une note axiale ; nous obtenons ainsi toutes sortes de gammes.

Les tableaux précédents, réalisés par le compositeur lui-même, nous expliquent de manière assez précise sa vision quant à l’idéalisation et la constitution d’échelles diverses dans un univers sonore circonscrit.

À propos de la notion axiale ballifienne
Remarques sur la collection de gammes amorcée dans le tableau précédent :
1° Ces gammes peuvent être considérées comme les variantes de quatre gammes-type : la gamme chromatique, la gamme hexacorde, la gamme à rapport 1+1/2 et l/2-(-l) et la gamme diatonique.
2° La gamme chromatique, suite de sons de valeur identique, peut être considérée comme la juxtaposition de deux gammes hexacordes ou comme une variante de la gamme 1+1/2 (Cf. dans le tableau, les variantes I et II de la gamme chromatique).
3° La gamme hexacorde ne donne que les relations modales de tierces majeures non complémentaires de quintes ; ces variantes permettent d’accéder aux combinaisons particulières de la gamme 1+1/2 [p.68]

Mais revenons à notre tabula magna ; voici quelques représentations des opérations multiplicatives dans le modulo en question. Observons par exemple le produit de l’ensemble de la multiplication par 3 (modulo 22) :

Comparons maintenant la même opération dans le modulo 24 :

En effet, à la différence du modulo 24 — ensemble de huit termes —, le modulo 22 ne fait pas seulement apparaître la totalité infra-chromatique métatonale — distribuée à la manière d’un cycle équilibré non octaviant. La multiplication par 3 (modulo 22) nous montre aussi le caractère «dichotomique» d’une « façon de percevoir » devenue « dualité essentielle» dans l’évolution des modalités sonores spécifiques à l’Occident : les modalités majeure et mineure.
Remarquons par exemple que lorsque le modulo 24 se borne à une seule et unique double division quaternaire de l’octave — structure de périodicité en tierces mineures —, le modulo 22 nous révèle trois modèles semblables, à partir d’une «configuration d’engrenage» des périodicités concernées à partir d’un intervalle de tierce majeure. Ordre des départs opérés : do = 0; do 3⁄4 = 3; do# = 2; ré 1⁄4 = 5; do1⁄4 = 1; ré = 4

Distinguons par ailleurs que l’absence du son antipode (si) ne limite en rien l’équilibre symétrique de la totalité des termes. Nous obtenons ainsi une double division quaternaire de l’octave de deux premiers ensembles opérés — avec leurs départs infra-chromatiques respectifs, à savoir (do 3/4) et (ré 1/4) —, puis un ensemble tempéré de quatre termes moins un terme (son antipode), avec une microstructure quaternaire infra-chromatique et son départ en (do). Voyons maintenant le produit de l’ensemble de la multiplication par 4 (modulo 22) :

Ici, la «configuration d’engrenage», constituée par la tierce mineure, fait apparaître la première et deuxième transposition (moins un terme) de la gamme par tons ; en revanche, le produit de la même opération dans le modulo 24 nous donne :

Rappelons que la même multiplication dans le modulo 12 fait apparaître la première disposition de l’accord de quinte augmentée, tandis que dans le modulo 11 elle nous dévoile les quatre transpositions du même accord — bien entendu, la note absente correspond au son antipode pour la dernière transposition.

Une fois énoncé l’invariant harmonique (do, fa, sib), le démarrage de la configuration binaire (quarte + quarte augmentée) entreprend son déploiement.

Il s’agit ici d’un retour au tempérament de l’ensemble métatonal. En effet, l’absence de chiffres impairs neutralise toute apparition de termes infra chromatiques. Par ailleurs, la même opération dans le modulo 24 nous renvoie à une seule et unique disposition de l’accord de septième diminuée (0, 6,12,18).

Produit de l’ensemble de la multiplication par 7 «modulo 22»:

La multiplication par 7 dans le modulo 22 fait apparaître un cycle équilibré tempéré, érigé à partir d’une quinte juste (+) une sixte mineure. Outre un cycle infra-chromatique aussi équilibré mais construit, lui, à partir d’une quinte juste (+) une sixte mineure (+) une sixte mineure : un cas de bi-symétrie croisée.

Échelles-harmonies

Nous voici au cœur des structures spécifiques à BALLIF : les échelles-harmonies — espèces de coupes spatiales résiduelles, déployées à partir des ensembles référentiels calculés dans leur moindre structure et responsables de ces nouveaux accords parfaits ballifiens.

Comme nous pouvons l’observer, le produit de l’ensemble de la multiplication par 9, héberge les coupes spatiales appartenant à la configuration des accords types qui ont tant fasciné les compositeurs russes depuis Alexandre SCRIABINE. Certes, nous sommes en face d’un autre modèle d’accord synthétique, mais dans notre approche il sera considéré comme un accord référentiel, bâti à partir de la division quaternaire de la sixte majeure.
Toutefois, précisons que dans la pensée métatonale un tel accord n’est pas un but en soi ; au contraire, la structure de charpente d’une échelle-harmonie n’est rien d’autre que le signe d’une configuration de départ qui sollicite le parachèvement de son parcours vers un événement dynamique : la présence d’un agrégat statique comme configuration spatiale de départ (configuration d’invariant), réclame toujours sa configuration spatiale dynamique de sommet (configuration du variant). A ce propos et dans un sens plus large, Stéphane Lupasco nous éclaire:

Tout ce qui se manifeste physiquement à nous, tout phénomène, toute modification d’un certain état des choses, implique l’existence d’une énergie qui n’est et ne peut être rigoureusement statique — sans quoi rien ne se passerait jamais dans l’Univers ; un dynamisme est donc toujours présent comme moteur de n‘importe quel événement ; mais un dynamisme, s’il n’est pas rigoureusement statique, ce qui équivaudrait à son inexistence, du moins par rapport à nos moyens d’information, implique à son tour un passage d’un certain état potentiel à l’actualisation ; que si un dynamisme quelconque peut demeurer à l’état potentiel, comme état antécédent de son état d ’actualisation, c’est que quelque chose peut le maintenir comme tel ; or, ce quelque chose ne peut être lui-même qu’un dynamisme à l’état d’actualisation antagoniste, parce qu’il faut qu’à son tour il puisse se potentialiser pour permettre l’actualisation de l’autre [Stéphane Lupasco]: Les trois matières,Paris, Julliard,1960 (Version en espagnol), p.20] (*)

Configuration statique dynamique du concerto Opus 49, n°4, de C. BALLIF (Mesure n°1)

(Mesure n°322)

Produit de l’ensemble de la multiplication par 13 « modulo 22 »

Le produit de la multiplication précédente mérite spéciale attention. Distinguons d’abord les 11 sous-modules de configuration (chiffres I à XI) constitués par la division de la neuvième majeure ou seconde majeure redoublée. À présent, jetons un coup d’œil au même produit découlé du modulo 24 :

produit de l’ensemble de la multiplication par 13 « modulo 24 »

Comme nous pouvons le constater, tandis que la multiplication par 13 dans le modulo 24 partage la neuvième mineure — phénomène logique dans le domaine du tempérament, le modulo 22 nous révèle une opération dite illogique avec le partage de la neuvième majeure en treize quarts de ton.
N’oublions pas que dans le territoire tempéré, la division de la neuvième majeure donne comme résultat l’apparition de notre traditionnel cycle de quintes — fondement apodictique de notre histoire — et non pas la configuration d’une équipartition différente.
Que faire alors de l’axiome énonçant que tout intervalle peut être divisé en 2 micro-intervalles équidistants ? Que devons nous interpréter lorsque XENAKIS écrit:

En musique la question des symétries (identités spatiales) ou des périodicités (identités dans les temps), joue un rôle fondamental à tous niveaux : Il est donc nécessaire de formuler une théorie permettant de construire des symétries aussi complexes qu’on les désire et, inversement, à partir d’une suite donnée des événements ou d’objets dans l’espace ou dans le temps, de retrouver les symétries qui la constituent. On nomme ces suites des cribles [p.20] La théorie des cribles étudie les symétries internes d’une suite de points construite intuitivement, donnée par l’observation ou fabriquée de toutes pièces par des modules de répétition [p.29]

À propos du crible

Par conséquent, et puisque nous partons de la prémisse que le modulo 12 n’est plus qu’une convention parmi d’autres, nous nous permettons de proposer une table intuitive de cribles métatonaux, construite à partir d’un module de symétrie équivalent à (12 – 1) pour l’échelle tempérée et d’un module de symétrie équivalent à (24 – 2) pour l’échelle en quarts de tons.

Voici la table de cribles en question:

La symétrie interne de chaque ligne peut être associée à une classe résiduelle pertinente, si nous envisagions par exemple, une relation de congruence avec un modulo 22.

Dans la modélisation ci-dessus, chaque fraction contient déjà dans ses composants, les informations congrues à sa prolifération dont le numérateur nous renseigne sur la longueur d’unité — en l’occurrence le quart de ton — et le dénominateur, nous précise les distances à parcourir d’un point d’origine zéro, dans un espace criblé à 22 indices et non répétitif. Ainsi nous disposerons d’une tabula avec 21 points de départ où chaque ligne — à partir de zéro —, fera le parcours de gauche à droite en respectant la segmentation prescrite par le dénominateur.
Voilà donc un aperçu des produits des ensembles résultants à l’aide des opérations dans le modulo 22. Quant aux produits des ensembles suivants, nous nous limiterons à donner les relations obtenues, engagées dans les multiplications par les dénominateurs impairs.
Ainsi, nous obtiendrons dans la multiplication par 15, la division de la tierce majeure redoublée ; dans les multiplications par 17 et 19, la division de la quarte et des quintes augmentées respectivement et enfin, dans la multiplication par 21 nous obtiendrons une échelle descendante en quarts de tons.

Citation

Macro-forme source

Textes supplémentaires

Deux autres compositeurs d’importance capitale :

Julián Carrillo

Nikolai Obukhov

ISNI:0000 0003 5938 4996

FIN

Citation & exemple

16 septiembre 202422 mayo 2019 por Williams Montesinos

Les sons jouent à cache-cache avec ma tête [♫], me font sortir de mes habitudes. C’est donc par les
débordements de l’indiscipline que je conçois la rigueur. Celle-ci me distrait de mes limites parce
que je suis tout à l’occupation nouvelle. Avant de l’entreprendre je vais dormir. Au réveil je saurai.
Extrait de l’autoportrait de Claude BALLIF 1996 : à la demande de Jacques DRILLON