Calculatis divertimenti

… Et pour en finir avec le choix de l’octave

Ensemble chromatique tempéré (rappel)

 

C4. 2 ^ (0/1200) * 261,62 = 261.62 → fréquence de départ

                                                                                              Indices

                                                                                                   ↓

C#4.     2 ^ (100/1200) * 261,62 = 277.176734746  | 1.05946309436

D4.      2 ^ (200/1200) * 261,62 = 293.658521079   | 1.12246204831 | log(100) ^ (200/1200) * 261.62 = idem

D#42 ^ (300/1200) * 261,62 = 311.120365427     | 1.189207115     | log(100) ^ (300/1200) * 261,62 = idem

E4.      2 ^ (400/1200) * 261,62 = 329.620545073    | 1.25992104989| log(100) ^ (400/1200) * 261,62 = idem

F4.      2 ^ (500/1200) * 261,62 = 349.220802648    | 1.33483985417 | log(100) ^ (500/1200) * 261,62 = idem

F#4.    2 ^ (600/1200) * 261,62 = 369.986552188    | 1.41421356237 | log(100) ^ (600/1200) * 261.62 = idem

G4.    2 ^ (700/1200) * 261,62 = 391.987097452     | 1.49830707688 | log(100) ^ (700/1200) * 261,62 = idem

G#42 ^ (800/1200) * 261,62 = 415.295863216     | 1.58740105197 | log(100) ^ (800/1200) * 261,62 = idem

A5.    2 ^ (900/1200) * 261,62 = 439.990640317     | 1.68179283051 | log(100) ^ (900/1200) * 261,62 = idem

Bb5.  2 ^ (1000/1200) * 261,62 = 466.15384528     | 1.78179743628 | log(100) ^ (1000/1200) * 261,62 = idem

B.      2 ^ (1100/1200) * 261,62 = 493.872795368   | 1.88774862536 | log(100) ^ (1100/1200) * 261,62 = idem

C8ve 2 ^ (1200/1200) * 261,62 = 523.24                  |             2            | log(100) ^ (1200/1200) * 261,62 = idem


Les 7 modalités du log(261.62)

Modalité de C / log(261.62)Indice 2.41767094133

(log(261.62) ^ (((1200/1200) * 1200) / 1200)) * 261.62 = 632.511071669

ou

2.41767094133 ^ (((1200/1200) * 1200) / 1200)) * 261.62 = idem [1528 ∆], soit une 8ve + 328 cents (∆)

(2,41767094133 ^ (((1200/12) * 1)/1200)) * 261,62 = 281.592256001 |constante k 127 ∆]

——————-

Modalité de D / log(293.658521079) → Indice 2.46784260727

(log(293.658521079) ^ (((1200/1200) * 1200) / 1200)) * 261.62 = 645.636982914

ou

2.46784260727 ^ (((1200/1200) * 1200) / 1200)) * 261.62 = idem [1564 ∆], soit une 8ve + 364 ∆

2.46784260727 ^ (((1200/12) * 1) / 1200)) * 261.62 = 282.074653176 |constante k 130 ]

——————-

Modalité de E / log(329.620545073) → Indice 2.51801427321

(log(329.620545073) ^ (((1200/1200) * 1200) / 1200)) * 261.62 = 658.762894158

ou

2.51801427321 ^ (((1200/1200) * 1200) / 1200)) * 261.62 = idem [1599 ∆], soit une 8ve +399 ∆

2.51801427321 ^ (((1200/12) * 1) / 1200)) * 261.62 = 282.548142765 |constante k 133 ]

——————-

Modalité de F / log(349.220802648) Indice 2.54310010619

(log(349.220802648) ^ (((1200/1200) * 1200) / 1200)) * 261.62 = 665.32584978

ou

2.54310010619 ^ (((1200/1200) * 1200) / 1200)) * 261.62 = idem [1616 ∆], soit une 8ve + 416 ∆

2.54310010619 ^ (((1200/12) * 1) / 1200)) * 261.62 = 282.78165333 |constante k 135 ]

——————-

Modalité de G / log(391.987097452) Indice 2.59327177213

 

(log(391.987097452) ^ (((1200/1200) * 1200) / 1200)) * 261.62 = 678.451761024

ou

2.59327177213 ^ (((1200/1200) * 1200) / 1200)) * 261.62 = idem [1650 ∆], soit une 8ve + 450 ∆

2.54310010619 ^ (((1200/12) * 1) / 1200)) * 261.62 = 282.78165333 |constante k 137.5 ]

——————-

Modalité de A / log(439.990640317) Indice 2.64344343807

log(439.990640317) ^ (((1200/1200) * 1200) / 1200)) * 261.62 = 691.577672269

ou

2.64344343807 ^ (((1200/1200) * 1200) / 1200)) * 261.62 = idem [1683 ∆], soit une 8ve +483 ∆

2.64344343807 ^ (((1200/12) * 1) / 1200)) * 261.62 = 283.695061989 |constante k 140.25 ]

——————-

Modalité de B / log(493.872795368) Indice 2.69361510402

log(493.872795368) ^ (((1200/1200) * 1200) / 1200)) * 261.62 = 704.703583513

ou

2.69361510402 ^ (((1200/1200) * 1200) / 1200)) * 261.62 = idem [1715 ∆], soit une 8ve +515 ∆

2.69361510402 ^ (((1200/12) * 1) / 1200)) * 261.62 = 284.13990846 |constante k 143 ]


Déconstruction de la 8ve tempéré (1200 ∆)

(un exemple)

log(1200) = 3.07918124605

3.07918124605 ^ (((1200/1200) * 1200) / 1200)) * 261.62 = 805.575397592 Hz |1947]

3.07918124605 ^ (((1947/1947) * 1200) / 1200)) * 261.62 = 805.575397592 Hz |1947]

3.07918124605 ^ (((1947/1947) * 1947) / 1200)) * 261.62 = 1622.39701763 [3159 ∆]

1622.39701763 / 2 = 811.198508815 |1947 + 36.78 ∆]

811.198508815 – 805.575397592 = 5.623111223 Hz |1947 + 36.78 ∆]


Un exemple de partage infra-tonique

1200 / 5 = 240 ∆ | 2 ^ ((240 * 5) / 1200) * 261.6 = 523.2

log(240) = 2.38021124171 (indice)log(1200/5) = 2.38021124171 (indice)

log(1200/5) ^ (1200/1200) = 2.38021124171 (indice)

2.38021124171 ^ (1200 / 1200) * 261.62 = 622.710865056 Hz

2.38021124171 ^ ((240 * 5) / 1200) * 261.62 = idem [1501 ∆], soit une 8ve + 301

Outils complémentaires en dehors de la calculatrice Google

Sengpielaudio 

 Hyperphysics

Musescore


8ve logarithmique

8ve logarithmique naturelle ou tout simplement une X(ave)

C4 → D#5 + 28 cents

(log(261.62) ^ (((1200/1200) * 1200) / 1200)) * 261.62 = 632.511071669 [D#5 + 28 cents]

632.511071669 / 261.62 = 2.41767094132 Ratio

2.41767094132 ^ (((1200/1200) * 1200) / 1200)) * 261.62 = 632.511071668

1528 cents

soit 1528/12 = 127.333333333

donc : une constante (k) arrondi à 127 cents

dans un parcours juxtaposé de 8ve ⇔ X(ave) {1200⇔1528}

2.41767094132 ^ (((127.333333333 * 0 / 1528) * 1200) / 1200)) * 261.62 = 261.62 Hz [C4 + 0 cents]

2.41767094132 ^ (((127.333333333 * 1 / 1528) * 1200) / 1200)) * 261.62 = 281.592256001 Hz [C#4 + 27 cents]

2.41767094132 ^ (((127.333333333 * 2 / 1528) * 1200) / 1200)) * 261.62 = 303.089208164 Hz [D4 + 55 cents]

2.41767094132 ^ (((127.333333333 * 3 / 1528) * 1200) / 1200)) * 261.62 = 326.227252873 Hz [D#4 + 82 cents]

2.41767094132 ^ (((127.333333333 * 4 / 1528) * 1200) / 1200)) * 261.62 = 351.131672294 Hz [F4 + 9 cents]

2.41767094132 ^ (((127.333333333 * 5 / 1528) * 1200) / 1200)) * 261.62 = 377.937312723 Hz [F#4 + 37 cents]

2.41767094132 ^ (((127.333333333 * 6 / 1528) * 1200) / 1200)) * 261.62 = 406.789314719 Hz [G4 + 64 cents]

2.41767094132 ^ (((127.333333333 * 7 / 1528) * 1200) / 1200)) * 261.62 = 437.843898971 Hz [G#4 + 91 cents]

2.41767094132 ^ (((127.333333333 * 8 / 1528) * 1200) / 1200)) * 261.62 = 471.269212169 Hz [A#4 + 19 cents]

2.41767094132 ^ (((127.333333333 * 9 / 1528) * 1200) / 1200)) * 261.62 = 507.246237438 Hz [B4 + 46 cents]

2.41767094132 ^ (((127.333333333 * 10 / 1528) * 1200) / 1200)) * 261.62 = 545.969774285 Hz [C5 + 74 cents]

2.41767094132 ^ (((127.333333333 * 11 / 1528) * 1200) / 1200)) * 261.62 = 587.649493347 Hz [D5 + 1 cents]

2.41767094132 ^ (((127.333333333 * 12 / 1528) * 1200) / 1200)) * 261.62 = 632.511071667 Hz [D#5 + 28 cents]

Une prolifération dérivée

2.41767094132 ^ (((127.333333333 * 1/ 1528) * 1528) / 1200)) * 261.62

constante (k) 62 cents |échelle non répétitive

Additif

sengpielaudio 

Voir : Une sonoïèse fréquentielle

Et pour en finir avec le choix de l’octave

Formulations ludiques à la portée de tous

(entraînement)

à l’usage fréquentiel créatif

2 ^ (1 / 1) =

1200 / 1 =

(1 ^ (((1200/1200) * 1200) / 1200)) * 261.62 =

log(100) =

log(100)^(((1200/1200) * 1200) / 1200)) =

log(2) =

Bien entendu, le sens des résultats aura toujours besoin d’un investissement sémantique :

signification de ce qui est souhaité.


À vous de calculer

(0 ^ (((1200/1200) * 1200) / 1200)) * 261.62

Notre signification (ex.)


Outils complémentaires en dehors de Google

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Musescore

Additif


Opérations avec la base 2 mod 12

B(e) ^ (((Ep ÷ mod) × d) ÷ Ea)) × f ° = ms

(2^(((1400 / 12) * 1) / 1200)) * 261.62 = 279,858013 (transposition + 17 cents)

Variante : Log( 279,858013) = 2.4469377463 [K 129]

(2^(((1400 / 12) * 12) / 1200)) * 261.62 = 587,317042

Variante : Log (587,317042) = 2.76887260282 [K 147]


 

(2^(((1300 / 12) * 1) / 1200)) * 261.62 = 278,514147 (transposition + 8 cents)

Variante : Log (278,514147) = 2.44484725986

(2^(((1300 / 12) * 12) / 1200)) * 261.62 = 554.353469493 (transposition + 8 cents)

Variante : Log(554.353469493) = 2.74378676996


(2^(((1200 / 12) * 12) / 1200)) * 261.62 = 523.24

(2^(((1100 / 12) * 13.091) / 1200)) * 261.62 = 523.242518633

(2^(((1000 / 12) * 14.4) /1200)) * 261.62 = 523.24

(2^(((900 / 12) * 16) / 1200)) * 261.62 = 523.24

(2^(((800 / 12) * 18) / 1200)) * 261,62 = 523.24

(2^(((700 / 12) * 20.6) / 1200)) * 261.62 = 523.743968007

(2^(((600 / 12) * 24) / 1200)) * 261.62 = 523.24

(2^(((500 / 12) * 28.8) / 1200)) * 261.62 = 523.24

(2^(((400 / 12) * 36) / 1200)) * 261,62 = 523.24

(2^(((300 / 12) * 48) / 1200)) * 261.62 = 523.24


D’après Ivan Wyschnegradsky

(2^(((200 / 12)*72) / 1200)) * 261.62 = 523.24

(200 / 12)*72) =1200 | (200 / 12)* 1) = 16.6666666667

(2^(((200 / 12)*72) / 1200)) (2^(((200 / 12)*72) / 1200)) = 2

(2^(((100 / 12) *144) / 1200)) * 261.62 = 523.24 | (100 / 12) *144) = 1200 | (100 / 12) *1) = 8.33333333333


(2^((((200 ÷ 2) / 12) * 144) / 1200)) * 261,62 = 523.24

Tiers de ton (2^((((200 ÷ 3) * 18) / 1200)) * 261,62 = idem

Quarts de ton (2^((((200 ÷ 4) * 24) / 1200)) * 261,62 = idem

Cinquièmes de ton (2^((((200 ÷ 5) * 30) / 1200)) * 261,62 = idem

Sixièmes de ton (2^((((200 ÷ 6) * 36) / 1200)) * 261,62 = idem

Septièmes de ton (2^((((200 ÷ 7) * 42 / 1200)) * 261,62 = idem

Huitièmes de ton (2^((((200 ÷ 8) * 48 / 1200)) * 261,62 = idem

Neuvièmes de ton (2^((((200 ÷ 9) * 54 / 1200)) * 261,62 = idem

Dixièmes de ton (2^((((200 ÷ 10) * 60/ 1200)) * 261,62 = idem

Onzièmes de ton (2^((((200 ÷ 11) * 66 / 1200)) * 261,62 = idem

Deuxièmes de ton (2^((((200 ÷ 12) * 72 / 1200)) * 261,62 = idem


Logarithmes de cents

Log(1200) = 3.07918124605 (une 8ve + 747 cents)

log(200) = 2.30102999566 (une 8ve + 243 cents)

Concaténation opératoire

Prolifération des espaces par la constante K 139

1300/1200 = 1,08333333333333 (indice)

261.62*(1.08333333333 ^ 1) (K) 139 cents

1300/1200 = 1.08333333333 | 261.62 * (1.08333333333 ^ 1) = 283.421666666 [C#4 + 39]

261.62 * (1.08333333333 ^ 13) = 740.590816985 [F#5 + 1]

740.590816985 / 261.62 = 2.83078823096 (indice)

Vérification

261.62 * (1.08333333333 ^ 13) = 740.590

Récursivité

261.62*(1.08333333333 ^ 13)/261.62 = 2.83078823096 (indice)


Dilatation

261.62 * ( 2.03900479616 ^ 2) = 1087.69576098 Hz [C4 0][C6 + 67 cents]

vérification

1087.69576098 / 261.62 = 4.15754055875 (indice)

261.62 * ( 4.15754055875^1) = 1087.69576098

Réalité fréquentielle

2 ^ ((100 * 1) / 1200)) * 261.62                                            2 ^ ((100 * 12) / 1200)) * 261.62   

2 ^ ((66.66 * 1) / 1200)) * 261.62                                         2 ^ ((66.66 * 18) / 1200)) * 261.62

2 ^ ((50 * 1) / 1200)) * 261.62                                              2 ^ ((50 * 24) / 1200)) * 261.62

2 ^ ((40 * 1) / 1200)) * 261.62                                               2 ^ ((40 * 30) / 1200)) * 261.62

2 ^ ((33.33 * 1) / 1200)) * 261.62                                          2 ^ ((33.33 * 36) / 1200)) * 261.62

2 ^ ((28.57 * 1) / 1200)) * 261.62                                          2 ^ ((28.57 * 42) / 1200)) * 261.62

2 ^ ((25 * 1) / 1200)) * 261.62                                               2 ^ ((25*48) / 1200)) * 261.62

2 ^ ((22.22 * 1) / 1200)) * 261.62                                                        2 ^ ((22.22 * 54) / 1200)) * 261.62

2 ^ ((20 * 1) / 1200)) * 261.62                                                2 ^ ((20 * 60) / 1200)) * 261.62 

2 ^ ((18.18 * 1) / 1200)) * 261.62                                           2 ^ ((18.18 * 66) / 1200)) * 261.62

2 ^ ((16.6666666667 * 1) / 1200)) * 261.62                           2 ^ ((16.6666666667 * 72) / 1200)) * 261.62

Musiques jivaro | Une esthétique de l’hétérogène par Pierre Salivas


Introduction & 1ère   partie
 

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Récursivité proliférante

Exemple

D’après un mode sous-jacent de 7 termes / base 1.618 / Constante 33/7 = 119 cents

 Échelle non répétitive

A : antérieur / À : postérieur


 Déploiement du territoire spatial de la constante 833/7= 119

X(ave) non itérative

1.618^ (11*119/833)*261.62                                                           1.618^ (119*119/833)*261.62

Série : 0, 11, 22, 33, 44, etc…

Et ainsi de suite jusqu’à compléter 119

261,61 Hz (C ) 0 / 0 ∆

557.270115811 Hz (C#) 5 / 9 ∆ 9↑

1187.02691681 Hz (D) 6 / 18 ∆ 9↑

2528.45588029 Hz (D#) 7 / 27 ∆ 9↑

5385.79963777 Hz (E) 8 / 36 ∆ 9↑

11472.1549877 Hz (F) 9 / 45 ∆ 9↑

24436.5459009 Hz (F#) 10 / 54 ∆ 9↑

52051.6656379 Hz (G) 11 / 64 ∆ 10

110873.930656 Hz (G#) 12 / 73 ∆ 9↑

236169.743051 Hz (A) 13 / 82 ∆ 9↑

503059.170022 Hz (Bb) 14 / 91 ∆ 9↑

933911.525312 Hz (A) 15 / 62 ∆ 62

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 Hyperhysics


Extensionnalité prolifique

El logaritmo como base de una frecuencia (Hz) proliferante

Divertimento heurístico cent ⟷ frecuencial

log(2) = 0.30102999566

(0,301/12) = (0.02508333333 * 1000) = 25.08333333 savarts [½ tono]

ver : https://sonocreatica.org/hacia-la-sencillez-compleja-de-una-historia-sumamente-complicada/

log(1,618) = 0.20897851727

1618 × log1.618 (440 / 880) 169.063620476

Reversibilidad : 1618 × log1.618 (880 / 440) 676.254481906

log(1.492) = 3.17376882314

1492 × log1.492 (440 / 880) 129.63154206 alguna cosa de

 Reversibilidad : 1492 × log1.492 (880 / 440) 518.52616824


log(10) 1

1618 × log10 (800 / 440) 487.066532984 equivalente a Bb + 76 ∆ (8va exigua)

2^(12/12)*440 = 880

ó

261.62*log10 (1*12) | 282.335397591

261.62*log10 (12*12) 564.670795182 (8va dilatada)

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LECTURA


Logaritmo & frecuencia COVID 19

log(19) 1.27875360095

2021 * log19 (440/880) 1292.18051376 (Octava corona virus)

—————————-

19 ^ (2021/2021) * 261.62 4970.78

(equisava mutatum⟷mutatum)

19 ^ (1.618*1/2021) * 261.62  262.237444157 | 19 ^ (1.618*1618/2021) * 261.62 11860.912908


La equis(ava)


Recordatorio

Síntesis de la Síntesis

Dado un valor, asociado a una frecuencia Hz de 263.61, definida en nuestra tradición acústica como la nota Do4 (notación científica) o Do3 (notación franco-belga), el índice espacial de ambas nos permite la identificación de cualquier sonido cromático o infra-cromático (ascendente/descendente) dentro del temperamento igual: división de la 8va en doce partes “proporcionalmente iguales”: o N partes infracromáticas dentro de un recorrido de 1200 cents (Δ) .


Ejemplo

Sea, el cálculo de una frecuencia deseada en su despliegue (en nuestro caso 261,63 Hz), la primera regla consiste en atribuir la posición en la escala logarítmica de la frecuencia inmediata (en el recorrido de 1200 cents).

2 ^(100/1200) ~ 1.05946309436

Una vez obtenida la posición solicitada, procedemos a efectuar la siguiente operación:

261.63 * 1.05946309436 ~ 277.187329377 (igual a Do#4)

261.63 /1.05946309436 ~ 246.945836427  (igual a Si3)

 y así sucesivamente, hasta completar nuestra apreciada 8va


Por lo demás, para los cálculos infracromaticos (es decir, aquellas frecuencias más pequeñas que un semitono), sería aconsejable la obtención del valor logarítmico de 1 cents (Δ). Para ello, la operación es simplemente:

2 ^(1/1200) ~ 1.00057778951

Lo que se traduce en :

261.63 * 1.00057778951 ~ 261.78116707 (igual a Do4 + 1 Δ)

Véase


Por última,  he aquí una muy breve formulación que pensamos podría ser de gran utilidad para niños en edad escolar:

Dado un sonido (N) para iniciar una escala tradicional con todos sus componentes cromáticos, basta con fijar la cifra 12 (doce pasos como territorio de recorrido) e implementar:

Se puede leer como: frecuencia multiplicada por 2 elevado a 1 sobre 12

440*2 ^ (1/12)466.163761518 [La#]; 440*2 ^ (2/12) ∼ 493.883301256 [Si]

… y así, hasta llegar a la cifra 12:

sea, 440*2 ^ (12/12) ∼ 880 [8va de la nota inicial]

Al maestro de arreglárselas

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Périodicités non octaviantes selon Wyschnégradsky

La prise de conscience de l’équivalence des sons, périodicité octaviante traditionnelle, ouvre la voie à des périodicités non octaviantes. Que signifie ce terme de périodicité non octaviante? Il signifie que les fonctions, qui dans l’espace périodique octaviant incombaient à l’octave (transpositions, redoublement) sont dans l’espace périodique non octaviant reportées sur un intervalle autre que l’octave. La notion de transfert de fonctions est essentielle dans la définition, car sans elle, le terme de périodicité resterait abstrait. La définition reste toutefois incomplète, car le terme de « autre intervalle » est très imprécis, et signifie n’importe quel intervalle.

Or, il faut tenir compte du fait que plus l’intervalle est petit, d’autant plus pauvres sont les possibilités de sa structuration interne. A la limite, l’intervalle le plus petit devient unité spatiale et exclut toute structuration. Cela impose une sélection. La seule façon à mon avis d’aborder le problème est de prendre comme base et point de départ l’octave et d’accéder à la périodicité non octaviante par contraction ou dilatation par degrés ultrachromatiques de ces intervalles. De cette façon la sélection se fait d’une façon naturelle. Ceci nous amène à une définition précise des espaces non octaviants.

Un espace non octaviant est un espace dans lequel l’intervalle de l’octave, qui depuis les temps les plus reculés avait délimité la périodicité de l’espace, se trouve soit contractée, soit dilaté d’une ou de plusieurs unités spatiales, de sorte que la fonction qui traditionnellement incombait à l’octave naturelle, est reportée sur des octaves modifiées. Il convient de préciser que dans une période contractée aucune des unités spatiales qui la composent ne subit de contraction. Cela veut dire que la contraction de la période s’obtient non par l’augmentation de sa densité,mais par la diminution du nombre de sons.

De même la dilatation de la période s’obtient non par la diminution de sa densité, mais par l’augmentation du nombre de sons. De même il n e faut pas confondre une octave modifiée avec une octave altérée dans le sens traditionnel de ce terme. Dans le dernier cas nous avons à faire à une anomalie passagère n’ayant pas de valeur structurelle [pp.73-130].

Voir