Recordatorio

Síntesis de la Síntesis

Dado un valor, asociado a una frecuencia Hz de 263.61, definida en nuestra tradición acústica como la nota Do4 (notación científica) o Do3 (notación franco-belga), el índice espacial de ambas nos permite la identificación de cualquier sonido cromático o infra-cromático (ascendente/descendente) dentro del temperamento igual: división de la 8va en doce partes “proporcionalmente iguales”: o N partes infracromáticas dentro de un recorrido de 1200 cents (Δ) .


Ejemplo

Sea, el cálculo de una frecuencia deseada en su despliegue (en nuestro caso 261,63 Hz), la primera regla consiste en atribuir la posición en la escala logarítmica de la frecuencia inmediata (en el recorrido de 1200 cents).

2 ^(100/1200) ~ 1.05946309436

Una vez obtenida la posición solicitada, procedemos a efectuar la siguiente operación:

261.63 * 1.05946309436 ~ 277.187329377 (igual a Do#4)

261.63 /1.05946309436 ~ 246.945836427  (igual a Si3)

 y así sucesivamente, hasta completar nuestra apreciada 8va


Por lo demás, para los cálculos infracromaticos (es decir, aquellas frecuencias más pequeñas que un semitono), sería aconsejable la obtención del valor logarítmico de 1 cents (Δ). Para ello, la operación es simplemente:

2 ^(1/1200) ~ 1.00057778951

Lo que se traduce en :

261.63 * 1.00057778951 ~ 261.78116707 (igual a Do4 + 1 Δ)

Véase


Por última,  he aquí una muy breve formulación que pensamos podría ser de gran utilidad para niños en edad escolar:

Dado un sonido (N) para iniciar una escala tradicional con todos sus componentes cromáticos, basta con fijar la cifra 12 (doce pasos como territorio de recorrido) e implementar:

Se puede leer como: frecuencia multiplicada por 2 elevado a 1 sobre 12

440*2 ^ (1/12)466.163761518 [La#]; 440*2 ^ (2/12) ∼ 493.883301256 [Si]

… y así, hasta llegar a la cifra 12:

sea, 440*2 ^ (12/12) ∼ 880 [8va de la nota inicial]

Al maestro de arreglárselas

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Extensionnalité Métatonale

Une extensionnalité de la Gamme Métatonale

Étant donné un ensemble de 11 termes (échelle métatonale), son parcours se déroulera dans un espace de 1100 cents. Et puisque une gamme chromatique suppose le passage de 12 termes sur 1200 cents (soit 100*12), nous énoncerons le théorème d’un territoire de 1100 cents (1200-100) afin de déplacer proportionnellement l’échelle évoquée.

Désormais et vu que nous acceptons l’utilisation des cents dans la « grandeur » à couvrir, associons alors les autres trois catégories ayant contribué à l’instauration d’un imaginaire sonore collectif en Occident.

Nous faisons référence naturellement aux sauveurs, les savarts et bien évidemment le célèbre comma pythagoricien, —jalon incontournable de la perception d’un niveau de réalité esthétique-sonore dans la musique « savante ».

Il s’agit alors d’une magnitude spatiale (équivalente à 1100 cents) qui segmente 9 commas pythagoriciens tous les 200 cents, pour produire le déploiement de 300 pas (Hertz/Sauveur/Savart/Cents) par 8ve.

Notre formulation :

2 ^ (1/1100) ~1.00063033238 | soit (* ex.) Do4 261,63 * (2^ (1/1100)) ~ 261.79491386

Division par 300 Sauveurs/Savarts 1100/300 ~ 3.6666666666 (constante métatonale)

Division par 43 “mérides” 1100/43 ≈ 26 cents

calcul des “éptamérides” (1100 ÷ 43) ÷ 7 ~ 3.65448504983 cents

Division de la constante métatonale par 9 commas 3.6666666666/9 ~ 0.4074074074

À propos des informations ici traitées:

EL CUADERNO ABIERTO 2019  | EL CUADERNO ABIERTO 2020


MATÉRIALISATION

Une « octave dilatée » ou X(ave)

261,63 +(1100/ 3,66666666667) ~ 561.63 Do#5 [1323 cents]

Une « octave contractée » ou X(ave).

261,63 * 3,66666666667 ~ 959.310000001 Bb5 avec 49 cents ou une X(ave) contractée de 109 à partir de Dox (procédé d’ interaction dialogique sonoiétique).

À propos de la dialogique

Le principe dialogique


Quelques opérations de la constante métatonale en association avec les éptamérides et les commas pythagoriciens :

261,63 +(1/ 3,6666666666) ~ 261.902727273 (2 cents)

261.63 + 0.4074074074 ~ 262.037407407 (3 cents)


Si nous appliquons à la formulation précédente un procédé multiplicatif dialogique, on obtient une grandeur flottante/proliférante que l’on peut associer à un son antipode, une frontière flottante ou tout simplement à l’apparition d’un nouveau son substrat.


261.63 * 0.4074074074 ~ 106.589999998 | soit une addition de (845 cents) : si nous procédons a la transposition (Sol#2, 45 cents a Sol#4 , 45 cents).

Hyperphysics


Dans notre procédé dialogique tous les opérateurs arithmétiques élémentaires peuvent être employés. Cependant, la signification des résultats obtenus (puisque à la base ils sont absolus), nécessite de la part de l’usager un investissement sémantique ou la visualisation de ce qui est souhaité.


Nous voici donc au sommet de notre dérive heuristique : le prémonitoire « son antipode » métatonal et le concept sonore/spatial de Ivan Wyschnégradsky.

Le premier, responsable de l’entrée d’une rupture entre Traité et procédés compositionnelles.

Le second, propulseur « des espaces non octaviants » (dilatés ou contractés).

Enfin, les deux concepts précédemment signalés nous confortent dans l’idée que l’histoire du Traité n’est pas nécessairement l’histoire de la pensée musicale, et par ailleurs, ils laisse entrevoir que la notion bachelardienne de la « interconceptualité » reste prolifique dans les dérives des savoirs.

Voici donc, l’entrée, la modélisation et la formalisation dans l’univers infra-fréquentiel de la gamme métatonale :

261.63 + (0.4074074074*300) (Sauveurs & Savarts) ~383.85222222 (son antipode ou absent) F#4 avec 64 cents).

Prolifération Référentielle / Extension Métatonale

MuseScore

Do4 261.63 + 383.85222222 ~ 645.48222222 | X(ave) de 1563.41926025 cents.


PROLIFÉRATION FÉCONDE de X(aves)

1100/300 ~ 3.66666666667 Constante de 11 tercios 3.66666666667 (pour une grandeur 1000 cents)

(1000 * log(880/440)) + (999/66666666667) ~ 573.484541118 (cents o Hz) ou

—————————–   100 /        11/3

—————————–  1618/        11/3


Compléments

Sur la Métatonalité

Périodicités non octaviantes selon Wyschnégradsky

La prise de conscience de l’équivalence des sons, périodicité octaviante traditionnelle, ouvre la voie à des périodicités non octaviantes. Que signifie ce terme de périodicité non octaviante? Il signifie que les fonctions, qui dans l’espace périodique octaviant incombaient à l’octave (transpositions, redoublement) sont dans l’espace périodique non octaviant reportées sur un intervalle autre que l’octave. La notion de transfert de fonctions est essentielle dans la définition, car sans elle, le terme de périodicité resterait abstrait. La définition reste toutefois incomplète, car le terme de « autre intervalle » est très imprécis, et signifie n’importe quel intervalle.

Or, il faut tenir compte du fait que plus l’intervalle est petit, d’autant plus pauvres sont les possibilités de sa structuration interne. A la limite, l’intervalle le plus petit devient unité spatiale et exclut toute structuration. Cela impose une sélection. La seule façon à mon avis d’aborder le problème est de prendre comme base et point de départ l’octave et d’accéder à la périodicité non octaviante par contraction ou dilatation par degrés ultrachromatiques de ces intervalles. De cette façon la sélection se fait d’une façon naturelle. Ceci nous amène à une définition précise des espaces non octaviants.

Un espace non octaviant est un espace dans lequel l’intervalle de l’octave, qui depuis les temps les plus reculés avait délimité la périodicité de l’espace, se trouve soit contractée, soit dilaté d’une ou de plusieurs unités spatiales, de sorte que la fonction qui traditionnellement incombait à l’octave naturelle, est reportée sur des octaves modifiées. Il convient de préciser que dans une période contractée aucune des unités spatiales qui la composent ne subit de contraction. Cela veut dire que la contraction de la période s’obtient non par l’augmentation de sa densité,mais par la diminution du nombre de sons.

De même la dilatation de la période s’obtient non par la diminution de sa densité, mais par l’augmentation du nombre de sons. De même il n e faut pas confondre une octave modifiée avec une octave altérée dans le sens traditionnel de ce terme. Dans le dernier cas nous avons à faire à une anomalie passagère n’ayant pas de valeur structurelle [pp.73-130].

Voir

 

Substrat & MétroPoïèse (didactologie)

Une convocation à la dialogique des savoirs

1er exemple

Cellule initiale

Avec investissement sémantique


Élan contrastant (1 + 7 croches)


Espace substrat de parcours æ

SubstratoA2

MuseScore

La signification des résultats obtenus (puisque à la base ils sont absolus), nécessite de la part de l’usager un investissement sémantique ou la compréhension de ce qui est souhaité. [lecture]

extensionnalité référentielle


2ème exemple

Experimentum métro-poïétique by sonopoïèse


3ème exemple

Imbrications et bifurcations métriques by sonopoïèse


Autres exemples

4ème

5ème

6ème


Una escala metatonal infra-frecuencial

SONIDO “SUBSTRATO”, ANTÍPODA Y PROLIFERACIÓN REFERENCIAL EN LA ESCALA METATONAL INFRA-FRECUENCIAL.

Efectivamente, la pandemia que padecemos, más allá de su carácter de epidemia planetaria, es sobre todo una pandemia del “Espíritu” y a nivel científico/tecnológico, nos previene del pasaje irrefutable hacia la no más metafórica cibernética cuántica enactada desde comienzos del siglo XX y reveladora  del escalofriante  quiebre de la certeza del confort.

Desde entonces, la apodíctica 0, 1 se enfrenta constantemente a la borrosa e inesperada percepción 0, 1 y otra cosa. Así, hoy (y más que nunca) la frase de Werner HEISENBERG (1901-1976) cuando nos señala que lo más importante de un concepto no es su precisión, sino su fecundidad [MANUSCRITO DE 1942 p.19], reactiva y proyecta ese tan necesario pensamiento ÍNTER-CONCEPTUAL

…y este nos conduce a imaginar la osada alianza de lo objetivo con lo subjetivo o si se quiere, de la alianza de una imaginaria coreografía de conceptos conjugadosCiencias Exactas/Ciencias del arte, Imaginarios Estéticos/Imaginarios Científicos, etc.

Surge (y repentinamente), el derecho a pensar que si el conocimiento científico depende del tipo de cultura practicado por una sociedad (y sobre todo, de los saberes que ella genera), la dialéctica de una logicidad aún más dinámica, debería tener lugar en la «convocación dialógica» de las múltiples disciplinas del saber.

Leer

Tan sólo así, podríamos aprehender la dinámica de un concepto como motor –puesto que en su conflicto de devenires lógicos– engendrados por el dinamismo de una dualidadantagónica, tomamos consciencia de ese concepto [Stéphane Lupasco: una introducción].

Penetremos entonces en el nodo fundamental que nos interroga y hagamos fecundar la naturaleza dialógica de sus componentes ínter-conceptuales y proliferantes.

Una relectura de la tradición

PENSAMIENTO METATONAL

El concepto de este sistema sin ánimo sistemático, ha de considerar cualquier experiencia sonora surgida de la tradición de la escritura musical como proceso evolutivo, al igual que la aprehensión de los Espacios no octavantes de Ivan Wyschnégradsky –con sus divisiones infinitesimales ultra-cromáticas, micro-intervalicas, infra-frecuenciales, etc. [complemento en francés].

Así, si consideramos el pensamiento metatonal como el mecanismo dinámico de una síntesis triunitaria o trialéctica, la “lógica metatonal” sería entonces ese tercer sistema sin espíritu de sistema que borra la contradicción tonal-atonal y señala la realidad flexible (en movimiento) del proceso musical –conduciéndonos a un universo de percepción y comprensión de un espacio sonoro distinto y particularmente luminoso.

La Metatonalidad ha de considerar la observación del discurso sonoro en la singularidad de su movimiento, advirtiéndonos sobre la necesidad de pensar el discurso musical, interrogando primeramente a la materia sonora.


UNA EXTENSIONALIDAD DE LA ESCALA METATONAL 

Version en francais

Dado un conjunto de 11 términos (escala metatonal), su recorrido tendrá lugar en un territorio delimitado por una magnitud de 1100 cents.

…Y puesto que una escala cromática se postula ineludiblemente como el pasaje de 12 términos contiguos cada 100 cents, en un recorrido de 1200, enunciaremos por consiguiente la proposición del teorema de un territorio de 1100 (1200-100) en aras de mover proporcionalmente la mencionada escala.

Ahora bien, dado que convenimos en aceptar el empleo de los cents como magnitud a recorrer, asociaremos entonces otras tres categorías que han contribuido a la instauración de un imaginario sonoro colectivo en occidente: les sauveurs, les savarts y las célebres “comas” pitagóricas –piedras miliares en la percepción de un nivel de realidad estético-sonora.

Surge entonces: una magnitud espacial equivalente a 1100 cents que segmentado por las 9 comas pitagóricas produce un despliegue de 300 frecuencias hertz (Sauveur/Savart).

NUESTRA FORMULACIÓN

2 ^ (1/1100) ~1.00063033238 | sea (* ej.) Do4 261,63* (2^(1/1100)) ~ 261.79491386

División entre 300 Sauveurs/Savarts 1100/300 ~ 3.6666666666 (constante metatonal)

División entre 43 “mérides” 1100/43 ≈ 26 cents

cálculo de “éptamérides” (1100 ÷ 43) ÷ 7 ~ 3.65448504983 cents

División de la constante metatonal entre 9 comas 3.6666666666/9 ~ 0.4074074074

A propósito de las informaciones aquí tratadas:

Los Cuadernos Abiertos


MATERIALIZACIÓN

Octava dilatada o equisava

261,63 +(1100/ 3,66666666667) ~ 561.63 Do#5 [1323 cents]

Octava exigua o equisava

261,63 * 3,66666666667 ~ 959.310000001 Bb5 con 49 cents o una equisava exigua de 1049 a partir de Do? (procedimiento de interacción dialógica sonoiética)

Ejemplos sonoros de equisava


Algunas operaciones de la constante en asociación con éptamérides y comas pitagóricas

261,63 +(1/ 3,6666666666) ~ 261.902727273 (2 cents)

261.63 + 0.4074074074 ~ 262.037407407 (3 cents)

Si aplicamos a la formulación precedente un procedimiento multiplicativo “dialógico”, se obtiene una magnitud flotante/proliferante que podemos asociar a un sonido antípoda, una frontera flotante o simplemente a la aparición de un nuevo sonido substrato.

261.63 * 0.4074074074 ~ 106.589999998 | lo que se puede traducir en una adición de (845 cents) si procedemos a la transposición (Sol#2 – 45 cents a Sol#4 – 45 cents)

hyperphysics

Recordatorio

Información:

En nuestro procedimiento dialógico todos los operadores aritméticos básicos, pueden ser empleados. No obstante el sentido de los resultados (por ser absolutos), necesitan de la valoración de un vertimiento semántico o significación de lo deseado.

Lecturas refrescantes (1) (2)

Henos entonces en el umbral de nuestra deriva: el premonitorio sonido antípoda del concepto metatonal; y el concepto sonoro-espacial de Ivan Wyschnégradsky:

El primero, responsable de la entrada de una ruptura entre tratado musical y procesos compositivos, el segundo, incitador de los espacios no octavantes dilatados o recrecidos.

En fin, el mencionado sonido antípoda (o ausente) y los espacios no octavantes, nos reconfortan en la idea de que afortunadamente la historia del tratado no es precisamente la historia del pensamiento musical.

He aquí su entrada, modelización y formalización en el universo infra-frecuencial:

261.63 + (0.4074074074*300) (Sauveurs & Savarts) ~383.85222222 (sonido antípoda) F#4 con 64 cents)

PROLIFERACIÓN REFERENCIAL / EXTENSIÓN METATONAL

Do4 261.63 + 383.85222222 ~ 645.48222222 | (equisava) de 1563.41926025 cents

MuseScore


PROLIFERACIÓN  FECUNDA (EQUISAVAS)

1100/300 ~ 3.66666666667 constante metatonal de 11 tercios 3.66666666667 (por una magnitud 1000 cents)

(1000 * log(880/440)) + (999/3.66666666667) ~ 573.484541118 (cents o Hz) ou

—————————–   100 /        11/3

—————————–  1618/        11/3


Sobre la METATONALIDAD


 

 

Sistema sin ánimo sistemático

El enunciado sistema sin ánimo sistemático [Claude Ballif, 1924-2004] no remite solamente a una simple frase inocente —puesto que ella comporta una carga polisémica que atraviesa el vector dinámico y recursivo del nivel poiético, estésico y estético: el primero, lugar por excelencia de la tensión fecunda entre homogeneidad y heterogeneidad; el segundo, lugar del artefacto de fabricación y el tercero, espacio ineludible de la recepción del objeto (y lugar por excelencia de una identidad colectiva, dada la naturaleza socio-estética a posteriori de la obra acogida.

Así pues, el compositor, pero sobre todo el pensador que fue C. BALLIF, estaba consciente que su vocablo sistema no correspondía al racionalismo clásico heredado de Aristóteles —aquél revisado por DESCARTES (Discurso del Método 1637) y ampliado por Auguste COMTE (en el cuadro sinóptico de las disciplinas científicas de 1828), para concluir en el establecimiento del modelo estándar de un Positivismo ilustrado.

No obstante, el vocablo sistema —aunque asociado habitualmente a lo sistemático (entendido como norma, regla o verdad) —, también forma parte de lo sistémico (entendido como diversidad de procesos).

Véase

La fréquence flottante | Un exemple

 Exercices sur la fréquence Do4

À l’usage exclusivement fréquentiel créatif

(calculatrice Google, pour l’instant)

(2^(1/1200))*261.63 ~ 261.781167069 (.) point Do4 1 cents

(2^(1/1200))*261,63 ~ 261.781167069 (,) virgule  Do4 1 cents

(2^(1/1200))*261)-63 ~ 198.150803061 (-) espace Sol3 19 cents


(2^(1/1200))*261,)-63 ~ Idem… [(,) (-)]

(2^(1/1200))*261.)-63 ~ Idem… [(.) (-)]

(2^(1/1200))*261)-.63 ~ 260.520803061 [(-) (.)] Si3 93 cents


(2^(1/1200))*261)- (-63) ~ 324.150803061 [(-) (-)] Ré#4 71 cents


Une curiosité

(2^(1.618 / 2 / 1618)*440)) ~ 622.253967444 (hertz ou cents)

(2^(1.618 / 2 / 1618)*440*2)) ~ 1244.50793489 (hertz ou cents)

(2^(1.618 / 1 / 1618)*440)) ~ 880 (hertz ou cents)

Prolifération

(2^((1.618 / 2 )/ 1618))*263.61 ~ 263.701376097 (.) point Do4 14 cents

(2^((1.618 / 2)/ 1618))*263,61 ~ 372.800837177 (,) virgule Do#4 13 cents

(2^((1.618 / 2 )/ 1618))*263)-61 ~ 310.938166904 (-) espace Ré4 99 cents

Lectures

Introduction à l’arithmétique flottante

Virgule fixe et flottante

 

 

Une Fibon(ave)

Alliances Cents/Hertz

Fréquences sans décimaux

(((1.618 log (880/440)) / log(2))/13)*13 ~ 1618 cents partagé en 13 termes

(((1.618 log (880/440) / log(2))/13*1 ~124.461538462 cents

Fréquences avec décimaux

((((1.618 log (523.26/261.63)) / log(2))*1000)/13*13 ~1618 cents partagé en 13 termes

((((1.618 log (523.26/261.63)) / log(2))*1000)/13*1 ~ 124.461538462 cents


Prolifération infra-fréquentielle

((((1.618 log (523.26/261.63)) / log(2))*1000)/13*0.1 ~ 12.4461538462 cents

((((1.618 log (523.26/261.63)) / log(2))*1000)/13*0.9 ~ 112.015384615 cents

((((1.618 log (523.26/261.63)) / log(2))*1000)/13*1 ~ 124.461538462 cents


Et ainsi jusqu’à…

((((1.618 log (523.26/261.63) / log(2))*1000)/13*12.9 ~ 1605.55384615 cents

Frontière flottante

((((1.618 log (523.26/261.63) / log(2))*1000)/13*13 ~1618 cents partagé en 13 termes

milieu absent structurant ou son antipode métatonal

((1.618 log (523.26/261.63)) / log(2))*1000)/13*13/2  ~ 809 cents

ou

((((1.618 log (523.26/261.63)) / log(2))*1000)/13*6.5 ~ Idem…

Méthode


…Et tout ceci vérifiable dans le software GNU/GPL MuseScore

Notre assise conceptuelle

Lecture éclairante

L’héritage de Wyschnégradsky

Mystères arithmétiques de la suite de Fibonacci

Fin du mystère

Microtonalité conventionnelle

2^(1/1200/1200)×440  ~ 440.000211795  (1 millième de ce que l’on veut).

2^(1200/1200/1200)×440  ~ 440.254227383  (1 cents)

      2^(1200 / 12 / 1200) ×440 ~ 466.163761518 (100 cents).
     Modulo     72   échelle           douzièmes de ton
                        42       »                  septièmes de ton
                        30       »                  cinquièmes de ton
                        24       »                  quarts de ton
                        22       »                  Shrutis
                        18       »                  tiers de ton
                        etc…

Constante d’une échelle
X(ave) ÷ modulo (X)

Exemple de formulation classique (sur une 8ve) pour l’obtention de douzièmes de ton

((1200 log (880/440) / log(2)) / 72*1

((1200 log (880/440) / log(2)) / 72*72

 

Épigraphe

Dans le premier paragraphe de l’introduction de l’ouvrage de référence et à propos de l’« Autopoïèse » DE MÁQUINAS Y SERES VIVOS (p.63), nous pouvons lire : lorsqu’un espace se partage en deux, naît un univers et celui-ci définit une unité. La description, l’invention et le maniement d’unités sont à la base de toute recherche scientifique.

Cette même phrase a été reprise en 1989 dans la traduction française du texte AUTONOMIE ET CONNAISSANCE de Francisco Varela, et exprimée comme ceci : à la base de toute recherche scientifique et rationnelle, on trouve la description, l’invention d’unités engendrées par un acte de distinction.

Cela est vrai ; toutefois, l’acte de distinction ne peut qu’émerger d’un « univers distingué », et celui-ci opère dans la parenthèse — qui « enacte » dans une perspective systémique, la création du sens, le renouer avec le sens commun. Il est important de signaler cette petite nuance, étant donné que notre démarche s’inscrit dans la « distinction » maturanienne de l’« objectivité » ; et que la bifurcation de celle-ci donne comme résultat, d’un côté une « objectivité sans parenthèse » et de l’autre une « objectivité entre parenthèse » : dans notre démarche il est question de la deuxième, car :

L’action de signaler toute quelconque entité, objet ou unité, s’attache au fait de notre action de distinguer — ce qui sépare la chose signalée comme différente. Chaque fois que nous faisons référence à quelque chose, de manière implicite ou explicite, nous spécifions un critère de distinction qui signale ce dont nous parlons, et spécifie les propriétés le concernant [source/es.]

Voir

Opérations avec une constante

Petite étude de cas

Imbrication Infra fréquentielle

3.66666666667/9 ~ 0.4074074074 | (9) Choix de pas

0|1 frontière flottante

{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} espace de croissance

440Hz + (0.099/ 0.4074074074) ~ 440.243 ≅1 cents

440Hz + (0.999/ 0.4074074074) ~ 442.452090909 ≅10 cents

440Hz + (10.7/ 0.4074074074) ~ 466.263636364100 cents (1/2 Ton)

Notre X(ave)

Divertimenti

Réflexion ludique

Simplification à la portée de tous