Récursivité proliférante

Exemple

D’après un mode sous-jacent de 7 termes / base 1.618 / Constante 33/7 = 119 cents

 Échelle non répétitive

A : antérieur / À : postérieur


 Déploiement du territoire spatial de la constante 833/7= 119

X(ave) non itérative

1.618^ (11*119/833)*261.62                                                           1.618^ (119*119/833)*261.62

Série : 0, 11, 22, 33, 44, etc…

Et ainsi de suite jusqu’à compléter 119

261,61 Hz (C ) 0 / 0 ∆

557.270115811 Hz (C#) 5 / 9 ∆ 9↑

1187.02691681 Hz (D) 6 / 18 ∆ 9↑

2528.45588029 Hz (D#) 7 / 27 ∆ 9↑

5385.79963777 Hz (E) 8 / 36 ∆ 9↑

11472.1549877 Hz (F) 9 / 45 ∆ 9↑

24436.5459009 Hz (F#) 10 / 54 ∆ 9↑

52051.6656379 Hz (G) 11 / 64 ∆ 10

110873.930656 Hz (G#) 12 / 73 ∆ 9↑

236169.743051 Hz (A) 13 / 82 ∆ 9↑

503059.170022 Hz (Bb) 14 / 91 ∆ 9↑

933911.525312 Hz (A) 15 / 62 ∆ 62

Outils en dehors de Google

Sengpielaudio 

 

 Hyperhysics


Extensionnalité prolifique

El logaritmo como base de una frecuencia (Hz) proliferante

Divertimento heurístico cent ⟷ frecuencial

log(2) = 0.30102999566

(0,301/12) = (0.02508333333 * 1000) = 25.08333333 savarts [½ tono]

ver : https://sonocreatica.org/hacia-la-sencillez-compleja-de-una-historia-sumamente-complicada/

log(1,618) = 0.20897851727

1618 × log1.618 (440 / 880) 169.063620476

Reversibilidad : 1618 × log1.618 (880 / 440) 676.254481906

log(1.492) = 3.17376882314

1492 × log1.492 (440 / 880) 129.63154206 alguna cosa de

 Reversibilidad : 1492 × log1.492 (880 / 440) 518.52616824


log(10) 1

1618 × log10 (800 / 440) 487.066532984 equivalente a Bb + 76 ∆ (8va exigua)

2^(12/12)*440 = 880

ó

261.62*log10 (1*12) | 282.335397591

261.62*log10 (12*12) 564.670795182 (8va dilatada)

sengpielaudio

LECTURA


Logaritmo & frecuencia COVID 19

log(19) 1.27875360095

2021 * log19 (440/880) 1292.18051376 (Octava corona virus)

—————————-

19 ^ (2021/2021) * 261.62 4970.78

(equisava mutatum⟷mutatum)

19 ^ (1.618*1/2021) * 261.62  262.237444157 | 19 ^ (1.618*1618/2021) * 261.62 11860.912908


Recordatorio

Síntesis de la Síntesis

Dado un valor, asociado a una frecuencia Hz de 263.61, definida en nuestra tradición acústica como la nota Do4 (notación científica) o Do3 (notación franco-belga), el índice espacial de ambas nos permite la identificación de cualquier sonido cromático o infra-cromático (ascendente/descendente) dentro del temperamento igual: división de la 8va en doce partes “proporcionalmente iguales”: o N partes infracromáticas dentro de un recorrido de 1200 cents (Δ) .


Ejemplo

Sea, el cálculo de una frecuencia deseada en su despliegue (en nuestro caso 261,63 Hz), la primera regla consiste en atribuir la posición en la escala logarítmica de la frecuencia inmediata (en el recorrido de 1200 cents).

2 ^(100/1200) ~ 1.05946309436

Una vez obtenida la posición solicitada, procedemos a efectuar la siguiente operación:

261.63 * 1.05946309436 ~ 277.187329377 (igual a Do#4)

261.63 /1.05946309436 ~ 246.945836427  (igual a Si3)

 y así sucesivamente, hasta completar nuestra apreciada 8va


Por lo demás, para los cálculos infracromaticos (es decir, aquellas frecuencias más pequeñas que un semitono), sería aconsejable la obtención del valor logarítmico de 1 cents (Δ). Para ello, la operación es simplemente:

2 ^(1/1200) ~ 1.00057778951

Lo que se traduce en :

261.63 * 1.00057778951 ~ 261.78116707 (igual a Do4 + 1 Δ)

Véase


Por última,  he aquí una muy breve formulación que pensamos podría ser de gran utilidad para niños en edad escolar:

Dado un sonido (N) para iniciar una escala tradicional con todos sus componentes cromáticos, basta con fijar la cifra 12 (doce pasos como territorio de recorrido) e implementar:

Se puede leer como: frecuencia multiplicada por 2 elevado a 1 sobre 12

440*2 ^ (1/12)466.163761518 [La#]; 440*2 ^ (2/12) ∼ 493.883301256 [Si]

… y así, hasta llegar a la cifra 12:

sea, 440*2 ^ (12/12) ∼ 880 [8va de la nota inicial]

Al maestro de arreglárselas

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Extensionnalité Métatonale

Une extensionnalité de la Gamme Métatonale

Étant donné un ensemble de 11 termes (échelle métatonale), son parcours se déroulera dans un espace de 1100 cents. Et puisque une gamme chromatique suppose le passage de 12 termes sur 1200 cents (soit 100*12), nous énoncerons le théorème d’un territoire de 1100 cents (1200-100) afin de déplacer proportionnellement l’échelle évoquée.

Désormais et vu que nous acceptons l’utilisation des cents dans la « grandeur » à couvrir, associons alors les autres trois catégories ayant contribué à l’instauration d’un imaginaire sonore collectif en Occident.

Nous faisons référence naturellement aux sauveurs, les savarts et bien évidemment le célèbre comma pythagoricien, —jalon incontournable de la perception d’un niveau de réalité esthétique-sonore dans la musique « savante ».

Il s’agit alors d’une magnitude spatiale (équivalente à 1100 cents) qui segmente 9 commas pythagoriciens tous les 200 cents, pour produire le déploiement de 300 pas (Hertz/Sauveur/Savart/Cents) par 8ve.

Notre formulation :

2 ^ (1/1100) ~1.00063033238 | soit (* ex.) Do4 261,63 * (2^ (1/1100)) ~ 261.79491386

Division par 300 Sauveurs/Savarts 1100/300 ~ 3.6666666666 (constante métatonale)

Division par 43 “mérides” 1100/43 ≈ 26 cents

calcul des “éptamérides” (1100 ÷ 43) ÷ 7 ~ 3.65448504983 cents

Division de la constante métatonale par 9 commas 3.6666666666/9 ~ 0.4074074074

À propos des informations ici traitées:

EL CUADERNO ABIERTO 2019  | EL CUADERNO ABIERTO 2020


MATÉRIALISATION

Une « octave dilatée » ou X(ave)

261,63 +(1100/ 3,66666666667) ~ 561.63 Do#5 [1323 cents]

Une « octave contractée » ou X(ave).

261,63 * 3,66666666667 ~ 959.310000001 Bb5 avec 49 cents ou une X(ave) contractée de 109 à partir de Dox (procédé d’ interaction dialogique sonoiétique).

À propos de la dialogique

Le principe dialogique


Quelques opérations de la constante métatonale en association avec les éptamérides et les commas pythagoriciens :

261,63 +(1/ 3,6666666666) ~ 261.902727273 (2 cents)

261.63 + 0.4074074074 ~ 262.037407407 (3 cents)


Si nous appliquons à la formulation précédente un procédé multiplicatif dialogique, on obtient une grandeur flottante/proliférante que l’on peut associer à un son antipode, une frontière flottante ou tout simplement à l’apparition d’un nouveau son substrat.


261.63 * 0.4074074074 ~ 106.589999998 | soit une addition de (845 cents) : si nous procédons a la transposition (Sol#2, 45 cents a Sol#4 , 45 cents).

Hyperphysics


Dans notre procédé dialogique tous les opérateurs arithmétiques élémentaires peuvent être employés. Cependant, la signification des résultats obtenus (puisque à la base ils sont absolus), nécessite de la part de l’usager un investissement sémantique ou la visualisation de ce qui est souhaité.


Nous voici donc au sommet de notre dérive heuristique : le prémonitoire « son antipode » métatonal et le concept sonore/spatial de Ivan Wyschnégradsky.

Le premier, responsable de l’entrée d’une rupture entre Traité et procédés compositionnelles.

Le second, propulseur « des espaces non octaviants » (dilatés ou contractés).

Enfin, les deux concepts précédemment signalés nous confortent dans l’idée que l’histoire du Traité n’est pas nécessairement l’histoire de la pensée musicale, et par ailleurs, ils laisse entrevoir que la notion bachelardienne de la « interconceptualité » reste prolifique dans les dérives des savoirs.

Voici donc, l’entrée, la modélisation et la formalisation dans l’univers infra-fréquentiel de la gamme métatonale :

261.63 + (0.4074074074*300) (Sauveurs & Savarts) ~383.85222222 (son antipode ou absent) F#4 avec 64 cents).

Prolifération Référentielle / Extension Métatonale

MuseScore

Do4 261.63 + 383.85222222 ~ 645.48222222 | X(ave) de 1563.41926025 cents.


PROLIFÉRATION FÉCONDE de X(aves)

1100/300 ~ 3.66666666667 Constante de 11 tercios 3.66666666667 (pour une grandeur 1000 cents)

(1000 * log(880/440)) + (999/66666666667) ~ 573.484541118 (cents o Hz) ou

—————————–   100 /        11/3

—————————–  1618/        11/3


Compléments

Sur la Métatonalité

Substrat & MétroPoïèse (didactologie)

Une convocation à la dialogique des savoirs

1er exemple

Cellule initiale

Avec investissement sémantique


Élan contrastant (1 + 7 croches)


Espace substrat de parcours æ

SubstratoA2

MuseScore

La signification des résultats obtenus (puisque à la base ils sont absolus), nécessite de la part de l’usager un investissement sémantique ou la compréhension de ce qui est souhaité. [lecture]

extensionnalité référentielle


2ème exemple

Experimentum métro-poïétique by sonopoïèse


3ème exemple

Imbrications et bifurcations métriques by sonopoïèse


Autres exemples

4ème

5ème

6ème


Una escala metatonal infra-frecuencial

SONIDO “SUBSTRATO”, ANTÍPODA Y PROLIFERACIÓN REFERENCIAL EN LA ESCALA METATONAL INFRA-FRECUENCIAL.

Efectivamente, la pandemia que padecemos, más allá de su carácter de epidemia planetaria, es sobre todo una pandemia del “Espíritu” y a nivel científico/tecnológico, nos previene del pasaje irrefutable hacia la no más metafórica cibernética cuántica enactada desde comienzos del siglo XX y reveladora  del escalofriante  quiebre de la certeza del confort.

Desde entonces, la apodíctica 0, 1 se enfrenta constantemente a la borrosa e inesperada percepción 0, 1 y otra cosa. Así, hoy (y más que nunca) la frase de Werner HEISENBERG (1901-1976) cuando nos señala que lo más importante de un concepto no es su precisión, sino su fecundidad [MANUSCRITO DE 1942 p.19], reactiva y proyecta ese tan necesario pensamiento ÍNTER-CONCEPTUAL

…y este nos conduce a imaginar la osada alianza de lo objetivo con lo subjetivo o si se quiere, de la alianza de una imaginaria coreografía de conceptos conjugadosCiencias Exactas/Ciencias del arte, Imaginarios Estéticos/Imaginarios Científicos, etc.

Surge (y repentinamente), el derecho a pensar que si el conocimiento científico depende del tipo de cultura practicado por una sociedad (y sobre todo, de los saberes que ella genera), la dialéctica de una logicidad aún más dinámica, debería tener lugar en la “convocación dialógica” de las múltiples disciplinas del saber.

Leer

Tan sólo así, podríamos aprehender la dinámica de un concepto como motor –puesto que en su conflicto de devenires lógicos– engendrados por el dinamismo de una dualidadantagónica, tomamos consciencia de ese concepto [Stéphane Lupasco: una introducción].

Penetremos entonces en el nodo fundamental que nos interroga y hagamos fecundar la naturaleza dialógica de sus componentes ínter-conceptuales y proliferantes.

Una relectura de la tradición

PENSAMIENTO METATONAL

El concepto de este sistema sin ánimo sistemático, ha de considerar cualquier experiencia sonora surgida de la tradición de la escritura musical como proceso evolutivo, al igual que la aprehensión de los Espacios no octavantes de Ivan Wyschnégradsky –con sus divisiones infinitesimales ultra-cromáticas, micro-intervalicas, infra-frecuenciales, etc. [complemento en francés].

Así, si consideramos el pensamiento metatonal como el mecanismo dinámico de una síntesis triunitaria o trialéctica, la “lógica metatonal” sería entonces ese tercer sistema sin espíritu de sistema que borra la contradicción tonal-atonal y señala la realidad flexible (en movimiento) del proceso musical –conduciéndonos a un universo de percepción y comprensión de un espacio sonoro distinto y particularmente luminoso.

La Metatonalidad ha de considerar la observación del discurso sonoro en la singularidad de su movimiento, advirtiéndonos sobre la necesidad de pensar el discurso musical, interrogando primeramente a la materia sonora.


UNA EXTENSIONALIDAD DE LA ESCALA METATONAL 

Version en francais

Dado un conjunto de 11 términos (escala metatonal), su recorrido tendrá lugar en un territorio delimitado por una magnitud de 1100 cents.

…Y puesto que una escala cromática se postula ineludiblemente como el pasaje de 12 términos contiguos cada 100 cents, en un recorrido de 1200, enunciaremos por consiguiente la proposición del teorema de un territorio de 1100 (1200-100) en aras de mover proporcionalmente la mencionada escala.

Ahora bien, dado que convenimos en aceptar el empleo de los cents como magnitud a recorrer, asociaremos entonces otras tres categorías que han contribuido a la instauración de un imaginario sonoro colectivo en occidente: les sauveurs, les savarts y las célebres “comas” pitagóricas –piedras miliares en la percepción de un nivel de realidad estético-sonora.

Surge entonces: una magnitud espacial equivalente a 1100 cents que segmentado por las 9 comas pitagóricas produce un despliegue de 300 frecuencias hertz (Sauveur/Savart).

NUESTRA FORMULACIÓN

2 ^ (1/1100) ~1.00063033238 | sea (* ej.) Do4 261,63* (2^(1/1100)) ~ 261.79491386

División entre 300 Sauveurs/Savarts 1100/300 ~ 3.6666666666 (constante metatonal)

División entre 43 “mérides” 1100/43 ≈ 26 cents

cálculo de “éptamérides” (1100 ÷ 43) ÷ 7 ~ 3.65448504983 cents

División de la constante metatonal entre 9 comas 3.6666666666/9 ~ 0.4074074074

A propósito de las informaciones aquí tratadas:

Los Cuadernos Abiertos


MATERIALIZACIÓN

Octava dilatada o equisava

261,63 +(1100/ 3,66666666667) ~ 561.63 Do#5 [1323 cents]

Octava exigua o equisava

261,63 * 3,66666666667 ~ 959.310000001 Bb5 con 49 cents o una equisava exigua de 1049 a partir de Do? (procedimiento de interacción dialógica sonoiética)

Ejemplos sonoros de equisava


Algunas operaciones de la constante en asociación con éptamérides y comas pitagóricas

261,63 +(1/ 3,6666666666) ~ 261.902727273 (2 cents)

261.63 + 0.4074074074 ~ 262.037407407 (3 cents)

Si aplicamos a la formulación precedente un procedimiento multiplicativo “dialógico”, se obtiene una magnitud flotante/proliferante que podemos asociar a un sonido antípoda, una frontera flotante o simplemente a la aparición de un nuevo sonido substrato.

261.63 * 0.4074074074 ~ 106.589999998 | lo que se puede traducir en una adición de (845 cents) si procedemos a la transposición (Sol#2 – 45 cents a Sol#4 – 45 cents)

hyperphysics

Recordatorio

Información:

En nuestro procedimiento dialógico todos los operadores aritméticos básicos, pueden ser empleados. No obstante el sentido de los resultados (por ser absolutos), necesitan de la valoración de un vertimiento semántico o significación de lo deseado.

Lecturas refrescantes (1) (2)

Henos entonces en el umbral de nuestra deriva: el premonitorio sonido antípoda del concepto metatonal; y el concepto sonoro-espacial de Ivan Wyschnégradsky:

El primero, responsable de la entrada de una ruptura entre tratado musical y procesos compositivos, el segundo, incitador de los espacios no octavantes dilatados o recrecidos.

En fin, el mencionado sonido antípoda (o ausente) y los espacios no octavantes, nos reconfortan en la idea de que afortunadamente la historia del tratado no es precisamente la historia del pensamiento musical.

He aquí su entrada, modelización y formalización en el universo infra-frecuencial:

261.63 + (0.4074074074*300) (Sauveurs & Savarts) ~383.85222222 (sonido antípoda) F#4 con 64 cents)

PROLIFERACIÓN REFERENCIAL / EXTENSIÓN METATONAL

Do4 261.63 + 383.85222222 ~ 645.48222222 | (equisava) de 1563.41926025 cents

MuseScore


PROLIFERACIÓN  FECUNDA (EQUISAVAS)

1100/300 ~ 3.66666666667 constante metatonal de 11 tercios 3.66666666667 (por una magnitud 1000 cents)

(1000 * log(880/440)) + (999/3.66666666667) ~ 573.484541118 (cents o Hz) ou

—————————–   100 /        11/3

—————————–  1618/        11/3


Sobre la METATONALIDAD


 

 

Aide-mémoire


Un calcul heuristique

[Hertz – Cents – Sauveur – Savart – OctaveX(aves) – Midicents, etc…]

Google calculatrice

L’héritage de Wyschnégradsky


(((1200 log(880hz/440hz)) / log(2)) / 72 * 1 = 16.6666666667 = La1/12ème


La gamme chromatique

DO4   261,63 * 2^(0/12) |  Do# 261,63 * 2^(1/12)    | Ré      261,63 * 2^(2/12)

Mib   261,63 * 2^(3/12)  |  MI   261,63 * 2^(4/12)   | Fa       261,63 * 2^(5/12)

Fa#    261,63 * 2^(6/12)  |  SOL 261,63 * 2^(7/12)   | SOL#  261,63 * 2^(8/12)

La     261,63 * 2^(9/12)   |  Sib 261,63 * 2^(10/12)   |  Si        261,63 * 2^(11/12)

Do5 261,63 * 2^(12/12) (8ve)


Déploiement des harmoniques

Do2 32,703 * 2^((1200 / 12) * 0)) * 1 | Do2 32,703 * 2^((1200 / 12) * 0)) * 2

Do2 32,703 * 2^((1200 / 12) * 0)) * 3  | Do2 32,703 * 2^((1200 / 12) * 0)) * 4

Do2 32,703 * 2^((1200 / 12) * 0)) * 5  | Do2 32,703 * 2^((1200 / 12) * 0)) * 6

Do2 32,703 * 2^((1200 / 12) * 0)) * 7   | Do2 32,703 * 2^((1200 / 12) * 0)) * 8

   Do2 32,703 * 2^((1200 / 12) * 0)) * 9    | Do2 32,703 * 2^((1200 / 12) * 0)) * 10

  Do2 32,703 * 2^((1200 / 12) * 0)) * 11 | Do2 32,703 * 2^((1200 / 12) * 0)) * 12

   Do2 32,703 * 2^((1200 / 12) * 0)) * 13 | Do2 32,703 * 2^((1200 / 12) * 0)) * 14

    Do2 32,703 * 2^((1200 / 12) * 0)) * 15 | Do2 32,703 * 2^((1200 / 12) * 0)) * 16

Corollaire



                                          /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

261,63*(2^(1/300)) 1 savart ≡ 1 heptaméride

261,63*(2^(5,5/300)) / (200/9)*1 1ère COMA I (22,2222222222)

Hyperphysics cents

261,63*(2^(7/300)) 1ère méride de sauveur

261,63*(2^ (50/300))4 200 cents

261,63*(2^ (0/300)) Do4 [1,2,3 …… et ainsi jusqu’à (50 cents)

Source


Rappel!

440Hz * 2^ (1/1200) ≃ 440.254227383 (La 1(1 cent) ) soit (1c,2c,3c,…1200c)

Pour en finir :

1 mHz = 0.001 Hz

 

Soit : 261,62 * (2^(((1200 / 1) * 0) / 1200/1)) + 0,1 = 261,72  (Hertz)

/

261,62 * (2^(((1200 / 1) * 0) / 1200/1)) + 0,001 = 261,621   (millihertz) 

Source


QUELQUES REPÈRES POUR UNE IDÉE DE CONCATÉNATION

(mille hertz – hertz – cents)

(440 + (0 / 0.001)) * 2^(1/1200)) ∼ 440.254227383 Hz, soit La + 1 cents

(440 + (0 / 0.001)) * (2^(4/1200)) ∼ 441.017791211 Hz, soit La + 4 cents (1er Savart / Heptaméride)

(440 + (0 / 0.001)) * (2^(16.66/1200)) ∼ 444.254643874 Hz, soit La + 17 cents (1/12) Ivan Wyschnégradsky

(440 + (0 / 0.001)) * (2^(20/1200))   ∼ 445.112553733 Hz, soit La + 20 cents (1/10 d.t)  

(440 + (0 / 0.001)) * (2^(22.22/1200)) ∼ 445.683697596 Hz, soit La ± 22 cents (1er COMA)

(440 + (0 / 0.001)) * (2^(28/1200))  ∼ 447.174170154 Hz, soit La + 28 cents (1er Méride de Sauveur)

(440 + (0 / 0.001)) * (2^(40/1200))450.285 Hz, soit La + 40 cents (1/5 d.t)

(440 + (0 / 0.001)) * (2^(50/1200)) ∼ 452.892984123 Hz, La + 50 cents (1/4 d)

(440 + (0 / 0.001)) * (2^(66.66/1200)) 457.272298578 Hz, soit La + 66,66 cents (1/6 d.t)

(440 + (0 / 0.001)) * (2^(28.571428571/1200)) 447.321793332 Hz, soit La + 29 cents (1/7 de ton)

(440 + (0 / 0.001)) * (2^(12/1200)) ∼ 443.060442025 Hz, soit 1er 1/2 ton


Enaction d’une “sonoïèse fréquentielle”

Si le néologisme « sonopoïèse » nous signale le domaine de l’auto-référentialité d’un espace/mouvement sonore à venir, le vocable « sonoïèse » signifiera l’auto-référentialité d’un déploiement fréquentiel à structurer.

 récursivité heuristique 440 + (1/ 3.66666666667) | 440* (2^(10/1200))  ou 440*1,00057778950655 ^ 10

Épigraphe →

lorsqu’un espace se partage en deux, naît un univers et celui-ci définit une unité. La description, l’invention et le maniement d’unités sont à la base de toute recherche scientifique.

FIN!

…………………………………………………………………………………………………………

Tout ceci pourrait se réduire (dans un esprit de synthèse de la synthèse) à :

440 * 2 ^ (0.999/1000) 440.304785287 = 1 cents, ce qui revient à 440 * 2 ^ (1/1200)

Visites conseillées

http://www.sengpielaudio.com/calculator-centsratio.htm

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Music/cents.html#c1

Bloc Notes | le calcul sans mystère

Heuristique infra/supra audio-fréquentiel

 

Calculatrice Google

 2^(((200/5) *1) /1200))*440 = 450.284512479

2^(0,9/1,618)*440 = 646.991069281

Vérification des cents


Autres opérations

261,62*(2^(((1200/72)*72)/1200/1)) = 523.24

261,62*(2^(((1200/72)*72)/1200/72)) = 264.150789763

261,62*(2^(((1200/72)*72)/1200/72)) * 2 = 528.301579526

261,62*(2^(((1200/72)*72)/1200/72)) / 2 = 132.075394882


Corollaire

f0 Hz * (X^(((ESPACE SUBSTRAT  [ Xave ] mod) * échelle) / confirmation  ))


Extension : partage de la seconde majeure

Octave distribuée en 72 termes / seconde majeure (200 cents) distribuée en 12 ou 12avos de ton

(((1200 log (880/440)) / log(2)) / 72*1 = 16.6666666667 cents

MuseScore

Octave distribuée en 40 termes / seconde majeure (200 cents) distribuée en 5 ou 5èmes de ton

(((1200 log (880/440)) / log(2)) / 72*12 = 200 cents

Exemple

Una equis(ava) de segunda mayor

definición de equis(ava)


L’héritage d’Ivan Wychnegradsky


Un exemple d’opération avec Φ dans le calcul de cents

(((1.618 log(880 / 440)) / log (2) / (13) * 0

(((1.618 log(880 / 440)) / log (2) / (13) * 1

(((1.618 log(880 / 440)) / log (2) / (13) * 13


Le calcul sonopoïétique


Miscellanées

Source

La equis(ava)

UNA EQUIS(AVA) NO REPETITIVA

261.63*5^(21/21) = 1308.15

2786,31371386 cents

2 octavas + 386 cents

2786/21 Constate: 132.666666667



Escala

0. 261.63*5^(0/21)                             Audio/frecuencia substrato

1. 261.63*5^(1/21)            f1: 261.63 Hz – f2: 282.469672968132.681605420 cents

2. 261.63*5^(2/21)

3. 261.63*5^(3/21)

4. 261.63*5^(4/21)

5. 261.63*5^(5/21)

6. 261.63*5^(6/21)

7. 261.63*5^(7/21)

8. 261.63*5^(8/21)

9. 261.63*5^(9/21)

10. 261.63*5^(10/21)

11. 261.63*5^(11/21)

12. 261.63*5^(12/21)

13. 261.63*5^(13/21)

14.  261.63*5^(14/21)

15.  261.63*5^(15/21)

16.  261.63*5^(16/21)

17. 261.63*5^(17/21)

18. 261.63*5^(18/21)

19. 261.63*5^(19/21)

20. 261.63*5^(20/21)

21. 261.63*5^(21/21)


Y en fin, un último cálculo residual: orientado a definir hipotéticamente una equis(ava) correspondiente a una sexta menor + 33 cents (sea 833 centésimas ):

261,63*1,618/12*12 = 423.31734 5 (Ab+33)


una equis(ava) de segunda mayor distribuida en 5 partes


Misceláneas

 

FIN

Solfeggietto n°1 pour flûte seule

PARCOURS ANALYTIQUE DU SOLFEGGIETTO POUR FLÛTE N °1

Par Williams Montesinos

Avec les exemples de WEBERN et VARÈSE {a} {b}, nous avons observé notamment l’opposition variant-invariant fixe un son comme entité référentiel. Il est à remarquer également que ce son de référence peut se présenter au moins de deux manières à l’intérieur du mouvement sonore : l’une, par exemple chez VARÈSE, impose à la perception une fixation sur un objet constant ; l’autre, comme dans le cas de WEBERN, donne de manière invisible mais bien présente, la distribution symétrico/spatiale autour lui. Cependant, considérons à présent la dualité affirmation et diminution dans l’opposition variant-invariant chez C. BALLIF.

Référentiel du Solfeggietto n°1


L’ensemble ci-dessus correspond au référentiel qui donnera naissance au Solfeggietto n°1 pour flûte seule. Un simple survol et on constatera l’absence de la note sib — ce qui imposera pour ce premier ensemble le ton indicatif de mi — selon les préceptes théoriques annoncés dès 1949 par C. BALLIF.

Tout d’abord, rappelons que l’idée de C. BALLIF dans l’élaboration des pièces pour instrument solo, a été mise en pratique dès 1961 (Chap. 78)— alors qu’il travaillait avec Pierre SCHAEFFER au G.R.M.

En effet, le concepteur des objets sonores avait demandé, à chacun de ses élèves participants, la confection d’une musique pour un film imaginaire — dont le principe esthétique consistait à signifier que toute musique était adaptable à n’importe quel film. Ainsi, sont nés les deux premiers Solfeggietti pour instrument solo : le premier pour flûte et le deuxième pour cor anglais.Considérons à présent le référentiel émergé  dans son mouvement :

Figuration référentielle


Le début de cette œuvre nous annonce d’emblée une tâche difficile pour l’analyse, étant donné que l’ensemble référentiel — lui-même suffisant pour ouvrir le mouvement — se trouve submergé dans une figuration thématique stricto sensu. C’est pour cela, et malgré les analyses traditionnelles concernant le découpage de cette pièce — à savoir en trois grandes parties —, que nous avons envisagé la même démarche de segmentation employée pour l’analyse de DENSITY 21.5 de VARÈSE, car à notre avis, elle rend plus claire la perception du conflit énergétique (statisme/dynamisme) déclenché par le pivotement d’une unité métrique de référence et d’un jeu dynamique entre les extrêmes.


PREMIÈRE PARTIE DU SOLFEGGIETTO N°1

PREMIÈRE SECTION : INTRODUCTION

MOUVEMENT MÉTRONOMIQUE : 104 bpm

INVARIANT HARMONIQUE : LA→MI→SI

SON ANTIPODE : Sib00

OPPOSITION VARIANT – INVARIANT

Section I


DEUXIÈME SECTION : MÉDITATIVE

MOUVEMENT métronomique : 88 MENO

INVARIANT HARMONIQUE : LA→MI→SI

SON ANTIPODE : Sib

AFFIRMATION DE L’OPPOSITION VARIANT – INVARIANT

Section II


TROISIÈME SECTION : MODULATIONS MODALES

MOUVEMENT MÉTRONOMIQUE : 132 bpm

INVARIANT HARMONIQUE : NOYÉ

SON ANTIPODE : Sib ENCORE ABSENT

DIMINUTION DE L’OPPOSITION VARIANT – INVARIANT

Section III


Modulations modales


QUATRIÈME SECTION :

ALTERNANCE ANTÉCÉDENT / CONSÉQUENT .

MOUVEMENT MÉTRONOMIQUE : 144 bpm VIVO CON SPIRITO

STABILITÉ DE L’INVARIANT HARMONIQUE LA→MI→SI

Section IV


CINQUIÈME SECTION : DILATATION MÉTRIQUE

MOUVEMENT MÉTRONOMIQUE : 88 bpm

Section V


SIXIÈME ET SEPTIÈME SECTIONS : PRÉPARATION DE LA

CADENCE MÉTATONALE

MOUVEMENT MÉTRONOMIQUE : 104.

RÉINTRODUCTION DU SON ANTIPODE la dièse (a titre d’accident)

PRÉPARATION DE LA PREMIÈRE MODULATION DE

L’INVARIANT HARMONIQUE

Dilatation métrique

Sections VI – VII


HUITIÈME ET NEUVIÈME SECTIONS :

(parenthésé avec accélération et conclusion)

AFFIRMATION DE L’INVARIANT HARMONIQUE

TON INDICATIF : SOL #

MOUVEMENTS métronomiques :

a) 144-152 vivacissimo

b) 104 (T°) conclusion

Sections VIII – IX

Fin de la première partie


DEUXIÈME PARTIE

MODULATIONS DE TEMPI

Dès le début de sa carrière, C. BALLIF a toujours porté une attention très profonde à la problématique de la durée — celle-ci, vue sous l’angle de l’articulation métrique dans son mouvement. Certes, le vocabulaire développé à travers ses écrits n’est pas si éclairant à ce propos et son opposition farouche au découpage du temps avec une précision d’horloger a été maintes fois manifestée.

Cependant, une précision interprétative de ses œuvres accompagnée d’un grain de « folie et de délire », l’écartèrent d’une perception ennuyeuse et décousue d’un texte musical mal digéré 150. En effet, il est probable que le souci occulte du père de la métatonalité vis-à-vis des problèmes du temps soit semblable aux préoccupations d’un Eliott CARTER ou bien d’un Conlon NANCAROW ; mais oui, la métatonalité supporte aussi le référentiel de durées et C. BALLIF , à la fin de sa vie en est tout à fait conscient.

PREMIÈRE SECTION : DILATATION MÉTRIQUE

TON INDICATIF : Sol #

MOUVEMENT MÉTRONOMIQUE : 88 bpm MODERATO

DEUXIÈME SECTION : ANACROUSE

 



 

TROISIÈME SECTION : STABLE

MOUVEMENT MÉTRONOMIQUE : 88

Troisième section


QUATRIÈME SECTION : PARENTHÈSE

Mouvement métronomique : 88

4ème section


CINQUIÈME SECTION : Vivacissimo

MOUVEMENT MÉTRONOMIQUE : 152 bpm

(réintroduction du son antipode RÉ bécarre)

5ème section


CINQUIÈME SECTION : MENO

MOUVEMENT MÉTRONOMIQUE : 100 bpm

5ème section


SIXIÈME SECTION : MODULATION

INVARIANT HARMONIQUE : DO → SOL → RÉ

MOUVEMENT MÉTRONOMIQUE : 152. VIVACISSIMO

(réintroduction du son antipode RÉ bécarre)

—————————————————————————————————

 

SEPTIÈME ET HUITIÈME SECTION : OPPOSITION

LENT – RAPIDE

MOUVEMENT MÉTRONOMIQUE : MENO, NOIRE 120 / MENO,

NOIRE 80. RALENTISSEMENT PAR GLISSEMENT TEMPOREL

RELATION (3/2). OPPOSITION DE TIMBRES : FLATTER,

STACCATO, DÉTIMBRÉ, TOUT BLANC

7e et 8e sections

——————————————————————————————————————

TROISIÈME PARTIE

UNIQUE SECTION : SUBITO VIVACISSIMO

MOUVEMENT MÉTRONOMIQUE : 144

INVARIANT HARMONIQUE : MI→SI→FA#

CONCENTRATION DU CONTRASTE DE TIMBRES

Fin

Interprète de la intégralité des extraits à usage exclusivement pédagogique : José García-Guerrero

Liens YouTube de l’interprète : A  –  B

 

Mouvement et exercices métatonaux

ARTICULATION DU MOUVEMENT MÉTATONAL

A la fin de son livre Économie Musicale, C. Ballif nous énonce de manière définitive les sept procédés d’engendrement et de prolifération dans le mouvement métatonal sur le référentiel de onze notes et les échelles harmonies ; il s’agit là d’un instrument d’observation, de prévision et d’analyse qui fait transiter les sons dans un espace-temps donné en activant des procédés d’articulation dans un « espace/mouvement »: des sons en interaction.

Rappelons que la métatonalité n’est pas un système clos au moyen duquel on pourrait composer pour avoir un style ou une manière déterminée ; dans l’esprit métatonal on s’attache à :

a) La mise en œuvre d’une corrélation de la macrostructure hors-temps (activité pré compositionnelle).

b) L’observation des points d’appui et des points de mobilité (activité analytique).

Ces deux préliminaires acceptés, tout un ensemble de moyens va intervenir.

 J’ai écrit quelque part que toute musique était structurée ou se structurait. De la même façon que je peux dire que toute musique part d’un référentiel d’ordre affectif ou spéculatif et plus précisément de sons animés et vivants. Le référentiel est l’ensemble de départ saisi sur l’ensemble totalisant et dans lequel on décide de travailler. Suivant les conventions d’époque ou de cultures musicales, il est restrictif, singulier mais suffisant pour arriver à bien faire sans plus s’occuper du vaste ensemble qui, lui, totaliserait l’univers sonore. On connaît comme référentiels des échelles diverses, des modes, lesquels sont forcément restrictifs. Le référentiel peut être aussi un motif, un thème, une série. J’écarte volontiers le terme de série même s’il a révélé pour beaucoup et pour moi-même des qualités pratiques. Ce terme ne me satisfait pas. Il est trop restrictif et trop lié à une notion de successivité qui rappellerait, mais en contrefacteur, le «thème », lui-même rivé à la solide rhétorique de la Durchführung, laquelle n’est pas indispensable. Des œuvres exemplaires montrent que la série n’était saisie que comme un référentiel, de même les modes, les gammes et les arpèges d’un ton principal, aux époques des musiques modales et tonales [] Par le terme référentiel j’insiste sur son universalité qui prendra dans une œuvre précise sa singularité. De même j’avais insisté dès  1949, en créant un néologisme, sur le terme « métatonal » propre à cerner toute musique. Dans cet art du mouvement, une notion d’ordre ne peut vivre que parce qu’elle est capable de désordre[pp.97-98]

Face à l’infini résonnant, le compositeur cherche à établir une cohérence dans un parcours à la fois diachronique et synchronique et pour cela, le modèle des formats s’impose : ces territoires où naissent les idées musicales réunissant :

a) les éléments d’une paramétrisation globale

b) et un type d’exploitation du matériau de l’œuvre à venir, de la matière sonore envisagée : les formaires.

L’unité (ou les unités) élémentaire (s) d’un « format » détermine (nt) le formaire en question et, par-là, décide (nt) le mode « composition » dans lequel des unités seront plus efficaces que d’autres en vue d’un style à notre image. Les « formats » ou unités élémentaires et individuelles, propres aux quatre formaires, sont distincts à l’analyse. Ils peuvent être traités comme un espace à plusieurs dimensions ou encore comme plusieurs espaces à une dimension. Les quatre formaires, une fois déterminés par leurs formats, n’ont pas d’ordre préférentiel d’entrée. Celui que nous avons choisi pour les décrire est dicté par l’ordre littéraire qui oblige de dire une chose après l’autre. Il n’y a pas de hiérarchie entre eux ; du point de vue de l’information qu’ils portent, ils sont tous les quatre aussi valables à l’activation du corpus d’une œuvre jusqu’à sa consommation dernière[pp. 48-49]

Ainsi l’inventaire des formaires de BALLIF , choisis en étroite relation avec les formats pour la structuration du mouvement sonore, est articulé par :

a) Les formats du formaire de sons en interaction.

b) Les formats du formaire d’événements.

c) Les formats du formaire d’enveloppes.

d) Les formats du formaire des cadres.

Les formats du formaire (a), par exemple, constituent l’échantillonnage physique des sonorités du processus à venir ; il s’agit selon BALLIF d’un spectre qui signe l’œuvre [Ibid., p.49]

Formaire de sons en interaction [*]


L’intérêt que porte BALLIF pour les phénomènes périodiques aux aspects géométriques des formes vivantes est une signature indiscutable de sa manière de modéliser et d’agir. Le formaire ci-dessus par exemple contient déjà une certaine représentation en miniature d’une macrostructure «des sons en interaction» à venir ; en effet, la simple distribution de 3m+3m — par exemple — peut signifier, dans l’esprit ballifien, la disposition d’un cycle répétitif plus ou moins riche, où la «vocation historique» de la périodicité intervallique opérée —la tierce mineure — donnera l’occasion d’introduire des unités plus fines, autrement dit infra-chromatiques — bouleversant ainsi sa connotation traditionnelle.

Les trois autres formaires, dont la détermination s’effectue par formats sur les événements, les enveloppes et les cadres, sont de nature plus liés à la psychologie et au caractère de chacun des compositeurs. Effectivement ces formats, quoique signifiés de la façon la plus neutre, ne peuvent demeurer dans cet état et sont particulièrement sujets à l’artifice d’une paramétrisation plus individuelle encore. Ils signalent et corrigent nos «impulsions» propres et les accordent à notre « souffle » pour ce qui regarde les événements, à nos sens de la « capacité» et des «articulations» pour ce qui convient aux enveloppes, à la nécessité plus au moins avouée d’un « fondement» aux différentes acceptations ou différents refus de telle continuité de discours, ainsi qu’au calcul de « caps» définissant une issue convenable pour régler les cadres[Ibid., p.49]

Apparition du formaire d’événements


Détermination du formaire des événements


Apparition du formaire d’enveloppes


Format du formaire des cadres


Les sons se contentent d’être. Le musicien seul les décide bons ou mauvais, consonants ou dissonants : jugement de valeur pour assurer le bien fondé des esthétiques. Comment être bien sûr ? Souhaits entre symboles. Comment sortir de l’arbitraire ? Peut-on, en toute rigueur, quantifier l’énergie sonore, non plus empiriquement mais à l’aide de calcul du taux d’information ? Pour gouverner une pièce à venir — ou, là, venant — peut-ton faire confiance à la notion d’ordre, laquelle garantit l’accroissement d’information et à son contraire la notion de désordre, qui cause, plus elle augmente, la diminution d’information ? Cette question a été débattue lors d’un concours, relaté par Diderot, entre un coucou et un rossignol, et jugé par un âne-ordinateur voisin. Ce dernier préfère la structure ordonnée, suivie par le coucou, qui adopterait un point de vue raisonné, voire scientifique, allant du simple au complexe […] Diderot illustre deux cas extrêmes de néguentropie et d’entropie possible pour le chant des oiseaux, de plus l’âne n’avait hélas pas encore lu Bachelard, lequel sut, entre autres, nous apprendre à distinguer un beau théorème et un beau poème qui présentent, eux aussi, deux cas extrêmes [p.73]

Mais revenons à l’intention préliminaire dans cette étape de notre démarche : la relecture des sept exercices sur le Référentiel métatonal et les échelles harmonies. Dans ce sens, nous développerons nos réflexions en essayant de donner à la métatonalité son LIEU D’EXPANSION et par conséquent D’EXTENSION. Voici donc une relecture extensionnelle de quelques exercices ballifiens.


Exercices métatonaux : vers une logique de l’espace-mouvement en expansion

A. Premier Exercice : Référentiels orientés

a) CHANGEMENT DE TON SANS TRANSPOSITION PAR ÉCHANGE DE DEUX SONS ANTIPODES

Exemple FA# au lieu de DO

Changement de ton sans transposition

Il s’agit tout simplement du renversement du noyau invariant.


b) TRANSPOSITION AVEC CHANGEMENT DE TON (INVARIANT HARMONIQUE TRANSPOSÉ)

Transposition avec changement de ton


Transposition avec changement de ton b


La table d’addition précédente (modulo 12) illustre clairement le déploiement des transpositions du référentiel métatonal ─ représenté dans la colonne horizontale située tout en haut ; l’emploi du modulo en question se justifie par la nature même de l’exercice ballifien, qui nous impose la transposition itérative de l’invariant harmonique et l’activation de la note antipode.

c) TRANSPOSITION SANS CHANGEMENT DE TON

Antipode fa# : toujours absent malgré les transpositions

Invariant harmonique conservé / variance mélodique activée

Transposition sans changement de ton

La transposition du référentiel associée à l’addition dans le modulo 11 — tout en activant la mobilité mélodique — respecte la permanence du noyau de l’invariant harmonique. Le résultat de cette association, consiste en un déploiement équilibré des cycles opérés.


B. Deuxième exercice: Référentiels symétriques
ÉTABLISSEMENT , PAR RAPPORT A UN ORIENT (MÉTATON) ET SUR CE POINT D’ORIENTATION , DE QUATRE FORMES ISOMÉTRIQUES

( DIAGRAMME DE KLEIN ) :

Premier cas
Référentiel « mono-structurel » : son renversement ne fait pas apparaître un changement de ton indicatif.

Référentiel mono-structurel

Second cas
Référentiel «poly-structurel» : son renversement fait apparaître un changement de ton indicatif.

Référentiel poly-structurel


C. Troisième exercice : Référentiels dérivés
L’ ORDRE SUCCESSIF , DONNE PAR L’ORIENT CONSIDÉRÉ COMME ORIGINE, EST MIS EN CORRÉLATION AVEC L’ORDRE NUMÉRIQUE D’APPARITION.

référentiels dérivés/permutations


Initialement, les deux premiers ordres vont proliférer par application bijective. On obtiendra ainsi neuf cycles en dehors du référentiel qui seront sous-divisés en trois groupes ou corrélations. Le tout formera ce que C. BALLIF a dénommé un archétype.

Archétype


L’archétype étant défini, on appliquera à chacune des corrélations la même opération ; sauf erreur, chaque corrélation doit contenir 30 cycles dérivés. Ainsi un seul référentiel dérivé sera à l’origine de 90 cycles de 11 notes. Un nouvel archétype peut se créer si nous appliquons à une corrélation, l’un de ces cycles du parcours de prolifération, la même opération appliquée au référentiel. Nous obtiendrons alors 90 nouveaux cycles.

Corrélations


Pour prévoir la totalité organique de l’œuvre aussi bien que pour se rendre compte, il faut donc, au-delà de l’écriture traditionnelle, en penser une autre, plus générale, qui inclurait une table de corrélations à double entrée fixant les relations entre l’écriture et l’instrumentation [pp. 185-184]

Cela étant, revoyons encore un instant le concept d’archétype ballifien car sa signification ne s’arrête pas à la simple concaténation référentielle entraînée par un bien traditionnel procédé de permutations. N’oublions pas que la composante
essentielle de l’archétype métatonal est sa propriété corrélative − porteuse de ces configurations intervalliques que BALLIF définit comme les modules qui deviendront les formats de formaires de sons. Certes, la lecture horizontale fournit les différentes suites et révèle les diverses configurations qui constitueront chez le compositeur les engrenages de transformation ou de modulation d’un référentiel dont voici un exemple :

Engrenage de transformations


dérivation référentielle


D. Les cycles de réseaux ou l’extension métatonale

L’étude des référentiels dérivés de C. BALLIF nous permet à présent d’introduire un procédé d’extension qui pourrait être considéré comme une variante de ce troisième
exercice métatonal : les cycles de réseaux. Inspiré des référentiels dérivés, ce procédé se présente en deux étapes :
a) Prolifération du produit de permutation à partir de deux ensembles de l’archétype ballifien — le premier bâti à partir de l’ordre d’apparition de la séquence métatonale (ou tout simplement gamme) et le deuxième constitué par la configuration ou référentiel sélectionné pour cette opération.
b) Multiplication par les chiffres 5, 7 et 11, dans le modulo 12 et multiplication par les chiffres 5, 7, et 9 dans le modulo 11. Autrement dit, lors de l’obtention du total des permutations, on multipliera les deux premiers ensembles par chacun des chiffres indiqués précédemment.

Archétype du cycle de réseaux


Correspondance avec les notes


Multiplication de l’archétype par 5 en « modulo 12 et 11


Multiplication par 7 de l’archétype en “modulo 12 et 11”


Multiplication par 9 de l’archétype en “modulo 11”

Nous avons exclu la multiplication par 9 dans le modulo 12, pour des raisons qu’on connaît désormais — à savoir la réduction du total chromatique ou métatonal aux uniques composants de l’accord de septième diminuée (0, 3, 6 et 9)—, en
vertu de quoi on pourrait envisager une réintroduction du même procédé pour propulser le passage vers un tempérament distinct. Dans la pensée métatonale, tout résidu est économie et par conséquent exploitable. En effet, la réintroduction de la multiplication par 9 dans le modulo 12 nous permet d’envisager la division de la tierce mineure — mais aussi, la division de la sixte majeure. Nous obtenons ainsi :

a) une double division quaternaire de l’octave (en modulo 12) avec une échelle de huit sons d’une périodicité de 3⁄4 de tons:

Double division quaternaire de l’octave


Échelle non octaviante en tierces mineures


Cycle infra-chromatique alterné

Quel que soit le choix du modulo, les cycles de réseaux — comme extension des référentiels dérivés métatonaux — permettront de basculer au cours du mouvement  sonore d’un tempérament à l’autre (tout en ayant à l’esprit la notion de bi-modularité (voire de pluri-modularité).

Multiplication de l’archétype par 11 en modulo 12


Multiplication par 11 modulo 11


E. Quatrième exercice : Référentiels circulaires.
a) Nouvel ordre successif par permutation des termes, tout en conservant toujours le même nouvel ordre et en sauvegardant la même origine.

Avec 12 sons

Référentiels circulaires


La permutation précédente (cycle B 2ème portée) fait apparaître une brisure dans le module de configuration représentée par la quarte augmentée/seconde majeure — à cause de la substitution de l’intervalle de seconde mineure par l’intervalle de seconde majeure. En effet, la suite des couples a, e, c, b, f, d signale une coupure nette entre les couples c et b — avec un rapport de quarte juste—; elle instaure une segmentation binaire entre les trois premiers couples et les trois derniers. Dans la technique métatonale, l’apparition de sons résultant d’une brisure est considérée comme une restance — il faut donc savoir l’intégrer.C’est ainsi que nous sommes en mesure d’imaginer l’existence d’une symétrie virtuelle au milieu de ces deux groupes équilibrés qui donnent la possibilité d’un  glissement infra-chromatique obtenu à partir de la division égale de la quarte juste :

Symétries virtuelles de groupes équilibrés


Le glissement infra-chromatique du référentiel nous dévoile l’actualisation d’une symétrie sous-jacente et nous ouvre la possibilité d’un référentiel extensible vers un univers infinitésimal ; nous pouvons ainsi, imaginer un référentiel microtonal comme celui-ci :

Glissement infra-chromatique


Par ailleurs, ce procédé est une dérivation du 7ème exercice sur le référentiel concernant les référentiels additifs.                        

1) Référentiels réciproques (extension métatonale) : Cycle réciproque du module de configuration quarte augmentée /seconde mineure :

Référentiels réciproques


Observons que le module de configuration réciproque (2de mineure plus quarte augmentée) fait apparaître une gamme métatonale sur DO dont le son manquant correspond au FA#. Autrement dit, la stricte succession itérative et sans brisure du module de configuration polarise un ton orient sur la note DO et potentialise son correspondant symétrique FA#.

2) Cycle réciproque du module de configuration quarte augmentée /seconde majeure :

Référentiels réciproques b


Remarquons que le cycle réciproque de la configuration quarte augmentée/seconde mineure réduit l’ensemble à la sonorité de la gamme par tons (deuxième et troisième portées).
Cependant, si le procédé en question est volontaire, nous sommes alors face à un exemple, dérivé du 7ème exercice sur le référentiel, concernant les ensembles  soustractifs ; c’est donc l’occasion de se demander si la segmentation équidistante de la configuration étudiée supporte la brisure de la quarte juste, pour ainsi activer l’ensemble des notes manquantes :

Ensemble soustractif


Cela étant, tout nous amène à penser que l’intervalle de quarte juste joue un rôle important dans l’organisation métatonale ; mais aussi dans le «modulo 11», car il sert à structurer, distribuer ou tout simplement à neutraliser ou polariser l’intention des sons en interaction de n’importe quel référentiel.

b) 4 FORMES CYLINDRIQUES : = début-milieu = fin-milieu

= milieu-extrême = extrême-milieu

 

Référentiel avec fixation d’axe de symétrie


Référentiel avec mobilité d’axe de symétrie, variant mélodique activé


Référentiel avec des couples symétriques


Fin milieu


Milieu/extrême


Extrême/milieu


F. Cinquième exercice : Référentiels modulants

A PARTIR D ’ UN ORIENT CONSIDÉRÉ, SUBSTITUTION INTERVALLIQUE : DES SECONDES MAJEURES ET DE SECONDES MINEURES, DES TIERCES MAJEURES ET TIERCES MINEURES, DES SIXTES MAJEURES ET SIXTES MINEURES, DES SEPTIÈMES MAJEURES ET SEPTIÈMES MINEURES.

Référentiels modulants


Le référentiel obtenu (II) est un produit défectif — à 10 termes —, bien souvent employé par BALLIF avec l’intention de brouiller le noyau invariant et activer ainsi la variance mélodique. Notons par ailleurs l’apparition accidentelle du FA#.

G. Sixième exercice : Référentiels proportionnels

Agrandissement, rétrécissements intervalliques effectués proportionnellement.

Exemple : quarte redoublée, quarte divisée en 5/4 de tons par rapport à l‘intervalle lui-même.

Référentiels proportionnels


Voici probablement l’un des procédés les plus ingénieux de la charpente inventive de C. BALLIF. À partir d’une figuration de deux termes et en définissant son axe équidistant (division binaire), on peut faire proliférer des ensembles référentiels résiduels. Dans l’esprit métatonal, la disposition ou spatialisation d’un intervalle quelconque peut révéler des natures dynamiques assez distinctes mais très utiles à l’énergie d’un mouvement.

Voici quelques exemples :

Déploiement spatial d’un ensemble équilibré

L’opération ci-dessus nous montre le déploiement spatial d’un ensemble référentiel équilibré ayant sa source dans un foyer substrat bâti à partir de la division binaire — par la note axiale ré 1⁄4 (chiffre 5) — en cinq quarts de tons de la quarte ascendante
do-fa (chiffres 0-10)
Ensuite, nous avons le véritable commencement du déploiement de quartes ascendantes et descendantes (disposition verticale 19- 15) pour aboutir à la première apparition de la disposition verticale « absente» jusqu’à ce moment du parcours : la quarte augmentée, constituée par le son axial ré1⁄4 et son pôle symétrique sol 3⁄4 (chiffre 17) — note axiale de l’intervalle redoublé de do-fa. Il est essentiel de remarquer que la note axiale d’origine (chiffre 5), divisera tout au long du parcours la totalité des agrégations verticales ; les deux dernières notes des cycles ascendants et descendants (chiffres 22-12) clôtureront la prolifération lorsqu’elles établiront à distance les rapports symétriques métatonaux des tons indicatifs (chiffres 0-10) et des sons antipodes (chiffres 12-22).


Il nous reste encore un dernier paradoxe : la disposition verticale des deux notes de clôture constituée par le rapport de l’intervalle de la quarte ascendante (FA#-SI) s’étend sur trois octaves et une quarte — autrement dit un intervalle redoublé — on peut par conséquent envisager une modulation, tout en gardant le même axe infra-chromatique d’origine.

Lorsque BALLIF propose la division équidistante d’un intervalle quelconque, il la suppose dans sa réalité matérielle, c’est-à-dire dans son mouvement. Il sait par ailleurs qu’une fois un «système choisi», il reste une méthode à cerner ; car depuis bien longtemps il est conscient que la mise en valeur de la matière nous amène à reconsidérer les restrictions du passé, à chercher leur raison d’être et enfin à réviser les conceptions classiques du mouvement. Par conséquent, le trinôme du schéma matière, mouvement, musique, n’est plus en situation de contingence — il est implicite à une conception différente du matériau à envisager.

Ainsi, et à partir d’une disposition d’origine — constituée par la division binaire d’une quarte — on peut faire proliférer des cycles qui garderont entre eux des propriétés spécifiques à une configuration de départ ou foyer substrat — semblable à l’espace substrat préconisé par René THOM : noyau du domaine spatial où a lieu la morphologie envisagée.

L’exemple suivant nous montre aussi l’importance de la présence d’un invariant — capitale par ailleurs dans la prolifération équilibrée d’une diversité ou variance mélodique. Cependant, dans la pensée métatonale la division binaire, ternaire ou autre d’un intervalle, ne se limite pas seulement à la segmentation de la quarte ; l’importance de celle-ci dans l’esprit métatonal relève probablement d’une perception différente de l’information qu’on a héritée d’une certaine théorie de l’histoire musicale en Occident. Elle pourrait même énoncer l’existence d’un dynamisme sous-jacent, présent dans la pratique musicale au moins depuis le Moyen Age :

dynamisme sous-jacent

Par exemple, si nous appliquons le sixième exercice ballifien, à la disposition précédente — en apparence insignifiante —, nous nous apercevrons qu’elle est à l’origine d’une «figuration référentielle» contenant les informations pertinentes à la constitution de l’espace de démarrage ou noyau substrat :

Constitution d’un noyau substrat


Et aussi, d’un processus ultérieur de prolifération bien singulier :

Prolifération

En effet, le redoublement de la seconde mineure descendante (mi, mib) avec sa division binaire sera à l’origine du premier et véritable « foyer substrat» du cycle — constitué par la première disposition verticale sol/do de la section B et ce foyer substrat est obtenu grâce à la symétrie de la quarte — édifiée par la note axiale de la figuration référentielle.

Mais cela n’a rien d’étonnant, car la conscience harmonique dans l’approche métatonale peut repérer les points variants et invariants avérés par les polarisations (tons indicatifs) ou les absences (sons antipodes) des différents moments du parcours.
Quant à l’ambiguïté que pourrait créer chez certains spécialistes l’emploi indistinct d’intervalles mélodiques et harmoniques dans une même opération, il faut rappeler que dans la pensée ballifienne, la distinction «mélodie-harmonie» n’a pas lieu d’être, car on n’entend ni horizontalement ni verticalement : on n’entend que des types de dispositions.
Continuons donc avec l’explication ; par exemple, la note axiale (la1⁄4) symbolise un lieu d’intersection entre un avant et un après du déploiement de l’ensemble référentiel (entrelacement des sections A et B) ; mais elle préfigure aussi la présence invisible qui organise la naissance, la spatialisation et la prolifération d’un noyau invariant gouvernant la diversité. La note axiale nous signale enfin, non seulement un prétendu épuisement d’un type de parcours, mais aussi les transformations ou bifurcations possibles d’un perpétuel mouvement. Observons par exemple que dans la section C — juste au milieu du parcours—, les deux notes restantes du noyau substrat (mi-mib) — que l’on croyait d’ailleurs insignifiantes — prendront la relève (en disposition redoublée) pour activer une occupation plus large de la tessiture et notamment l’assurance d’un parcours cohérent à la section D.
La fin du parcours va se clôturer avec l’unisson infra-chromatique de la note axiale, mais auparavant le cycle des termes tempérés ôtera son déploiement (avant-dernière disposition notes fa#-réb) avec leurs respectifs pôles symétriques des composants du foyer substrat do-sol.
Ainsi, le cycle des notes des quartes clôturera son parcours, mais non sa distribution spatiale. Observons une dernière fois l’exemple de la figure précédente et rajoutons onze quarts de tons supplémentaires aux cycles ascendants et descendants. Pour le premier cycle nous retrouverons la note solb, tandis que pour le deuxième, nous aurons la note réb.
En réalité, elles étaient déjà présentes dans le parcours, mais cette
fois-ci elles constitueront pour la première fois une disposition verticale de quinte redoublée : hasard ou tautologie ? Ni l’un ni l’autre ; à ce stade, nous sommes en mesure de penser que la variance est contenue déjà dans l’invariance. Le noyau métatonal (invariant harmonique) ne peut gouverner le mouvement sonore que s’il dispose de la condition sine qua non de sa vocation : le déclenchement du mouvement.
Le regard métatonal sur les œuvres du passé, et notamment sur celles du SYSTÈME TONAL, nous a montré que la tonique avait  besoin d’un membre stable pour la confirmer (la dominante) et d’un membre mobile (la sous-dominante), capable d’activer et de contrôler la diversité du mouvement ; l‘exemple suivant pourrait illustrer plus clairement ces propos.

Comme nous pouvons l’observer, la division infra-chromatique du cycle de quintes aboutit à une disposition octaviante du pôle symétrique du terme qui l’a engendrée — donc un parcours clos —, tandis que la division infra-chromatique de la quarte propose une bifurcation et signale la présence d’un parcours ouvert.
Par ailleurs, nous supposons que le système tempéré était une réponse «légitime» à la difficulté régnante imposée par des systèmes différents — ne permettant pas la construction d’un langage identitaire typiquement occidental.

Mais rappelons une fois encore qu’une recherche de cette nature correspondrait plutôt à une démarche anthropologique ou à une archéologie du système tonal — à propos d’une reconstruction du savoir musical en Occident — et qui dégagerait les contraintes ayant conduit la théorie musicale occidentale à se fixer une logique circonscrite, voire autosuffisante.